Για mu le gero na. Εμβαδόν τριγώνου με τον τύπο του Heron
Προκαταρκτικές πληροφορίες
Αρχικά, ας παρουσιάσουμε τις πληροφορίες και τη σημειογραφία που θα χρειαστούμε αργότερα.
Θα εξετάσουμε ένα τρίγωνο $ABC$ με οξείες γωνίες $A$ και $C$. Ας σχεδιάσουμε το ύψος $BH$ σε αυτό. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(Εικ. 1).
Εικόνα 1.
Ας εισαγάγουμε, χωρίς απόδειξη, το θεώρημα για το εμβαδόν ενός τριγώνου.
Θεώρημα 1
Το εμβαδόν ενός τριγώνου ορίζεται ως το μισό γινόμενο του μήκους της πλευράς του και του ύψους που τραβιέται προς αυτό, δηλαδή
Η φόρμουλα του Heron
Ας εισαγάγουμε και ας αποδείξουμε ένα θεώρημα για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου από τρεις γνωστές πλευρές. Αυτός ο τύπος ονομάζεται Οι φόρμουλες του Heron.
Θεώρημα 2
Ας μας δοθούν τρεις πλευρές ενός τριγώνου $a,\ b\ και\ c$. Τότε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου εκφράζεται ως εξής
όπου $p$ είναι η ημιπερίμετρος του δεδομένου τριγώνου.
Απόδειξη.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό που παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.
Θεωρήστε το τρίγωνο $ABH$. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε
Είναι προφανές ότι $HC=AC-AH=b-x$
Θεωρήστε το τρίγωνο $\CBH$. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε
\ \ \
Ας εξισώσουμε τις τιμές του τετραγώνου του ύψους από τους δύο ληφθέντες λόγους
\ \ \
Από την πρώτη ισότητα βρίσκουμε το ύψος
\ \ \ \ \ \
Εφόσον η ημιπερίμετρος είναι ίση με $p=\frac(a+b+c)(2)$, δηλαδή $a+b+c=2p$, τότε
\ \ \ \
Με το Θεώρημα 1, παίρνουμε
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Παραδείγματα προβλημάτων που χρησιμοποιούν τον τύπο του Heron
Παράδειγμα 1
Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου αν οι πλευρές του είναι $3$cm, $6$cm και $7$cm.
Λύση.
Ας βρούμε πρώτα την ημιπερίμετρο αυτού του τριγώνου
Με το Θεώρημα 2, παίρνουμε
Απάντηση:$4\sqrt(5)$.
Ικανότητα μαθηματικής σκέψης –μια από τις ευγενέστερες ικανότητες του ανθρώπου.
Ο Ιρλανδός θεατρικός συγγραφέας Μπέρναρντ Σο
Η φόρμουλα του Heron
Στα σχολικά μαθηματικά, ο τύπος του Heron είναι πολύ δημοφιλής, η χρήση του οποίου σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις τρεις πλευρές του. Ταυτόχρονα, λίγοι μαθητές γνωρίζουν ότι υπάρχει ένας παρόμοιος τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού των τετράπλευρων εγγεγραμμένων σε κύκλο. Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος του Brahmagupta. Επίσης ελάχιστα γνωστός είναι ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου από τα τρία ύψη του, η εξαγωγή του οποίου προκύπτει από τον τύπο του Heron.
Υπολογισμός του εμβαδού των τριγώνων
Αφήστε ένα τρίγωνοπλευρές, και . Τότε ισχύει το παρακάτω θεώρημα (ο τύπος του Ήρωνα).
Θεώρημα 1.
Οπου .
Απόδειξη.Κατά την εξαγωγή του τύπου (1), θα χρησιμοποιήσουμε γνωστά geomes tric τύπους
, (2)
. (3)
Από τους τύπους (2) και (3) παίρνουμε και . Από τότε
. (4)
Αν υποδηλώσουμε τότε από την ισότητα (4) ακολουθεί ο τύπος (1). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ας εξετάσουμε τώρα το ζήτημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνουδεδομένου ότι , ότι είναι γνωστά τα τρία ύψη του, Και .
Θεώρημα 2.Το εμβαδόν υπολογίζεται με τον τύπο
. (5)
Απόδειξη.Από , και , τότε
Σε αυτή την περίπτωση, από τον τύπο (1) παίρνουμε
ή
Από αυτό προκύπτει ο τύπος (5). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Υπολογισμός του εμβαδού των τετράπλευρων
Ας εξετάσουμε μια γενίκευση του τύπου του Heron στην περίπτωση του υπολογισμού του εμβαδού των τετραπλευρών. Ωστόσο, πρέπει αμέσως να σημειωθεί ότι μια τέτοια γενίκευση είναι δυνατή μόνο για τετράπλευρα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.
Αφήστε το τετράπλευροέχει πλευρές , και .
Αν είναι τετράπλευρο, εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε το Θεώρημα 3 (ο τύπος του Brahmagupta) είναι αληθές.
Θεώρημα 3.τετράγωνο υπολογίζεται με τον τύπο
Οπου .
Απόδειξη.Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο σε ένα τετράπλευρο και πάρουμε δύο τρίγωνα και . Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα συνημιτόνου σε αυτά τα τρίγωνα, το οποίο είναι ισοδύναμο με τον τύπο (3), τότε μπορούμε να γράψουμε
Εφόσον ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, το άθροισμα των απέναντι γωνιών του είναι ίσο, δηλ. .
Αφού ή τότε από το (7) λαμβάνουμε
Ή
. (8)
Από τότε. Ωστόσο και ως εκ τούτου
Αφού , τότε από τους τύπους (8) και (9) προκύπτει
Αν βάλεις τότε από εδώ παίρνουμε τον τύπο (6). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Αν ένα κυκλικό τετράπλευροπεριγράφεται επίσης, τότε ο τύπος (6) απλοποιείται σημαντικά.
Θεώρημα 4.Το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε έναν κύκλο και περιγεγραμμένου γύρω από έναν άλλο υπολογίζεται από τον τύπο
. (10)
Απόδειξη.Εφόσον ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε τετράπλευρο, ισχύουν οι ισότητες:
Σε αυτήν την περίπτωση, τα , , , και ο τύπος (6) μετατρέπεται εύκολα στον τύπο (10). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ας προχωρήσουμε εξετάζοντας παραδείγματα προβλημάτων γεωμετρίας, η επίλυση των οποίων πραγματοποιείται με βάση την εφαρμογή αποδεδειγμένων θεωρημάτων.
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Παράδειγμα 1. Βρείτε περιοχή, αν .
Λύση.Από εδώ, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 1 λαμβάνουμε
Απάντηση: .
Σημείωση, αν οι πλευρές ενός τριγώνουπαίρνουν παράλογες αξίες, στη συνέχεια υπολογίζοντας το εμβαδόν τουχρησιμοποιώντας τον τύπο (1), συνήθως , είναι αναποτελεσματική. Σε αυτή την περίπτωση, συνιστάται η άμεση εφαρμογή των τύπων (2) και (3).
Παράδειγμα 2.Βρείτε την περιοχή αν , και .
Λύση.Λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους (2) και (3), παίρνουμε
Από τότε ή .
Απάντηση: .
Παράδειγμα 3.Βρείτε την περιοχή αν , και .
Λύση.Επειδή η ,
τότε από το Θεώρημα 2 προκύπτει ότι .
Απάντηση: .
Παράδειγμα 4.Ένα τρίγωνο έχει πλευρές και . Βρείτε και , όπου είναι οι ακτίνες των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων, αντίστοιχα.
Λύση.Αρχικά, ας υπολογίσουμε την περιοχή. Αφού , τότε από τον τύπο (1) παίρνουμε .
Είναι γνωστό ότι . Να γιατί .
Παράδειγμα 5.Βρείτε το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο εάν , , και .
Λύση.Από τις συνθήκες του παραδείγματος προκύπτει ότι . Στη συνέχεια, σύμφωνα με το Θεώρημα 3, λαμβάνουμε .
Παράδειγμα 6.Βρείτε το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο του οποίου οι πλευρές είναι , και .
Λύση.Αφού και , η ισότητα ισχύει στο τετράπλευρο. Ωστόσο, είναι γνωστό ότι η ύπαρξη μιας τέτοιας ισότητας είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για το γεγονός ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα δεδομένο τετράπλευρο. Από αυτή την άποψη, για να υπολογίσετε την περιοχή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (10), από τον οποίο προκύπτει.
Για ανεξάρτητη και υψηλής ποιότητας προετοιμασία για εισαγωγικές εξετάσεις στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων σχολικής γεωμετρίας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αποτελεσματικά σχολικά βιβλία, περιλαμβάνονται στον κατάλογο της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.
1. Gotman E.G. Προβλήματα επιπεδομετρίας και μέθοδοι επίλυσής τους. – Μ.: Εκπαίδευση, 1996. – 240 σελ.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Γεωμετρία τριγώνου σε προβλήματα. – Μ.: CD “Librocom” / URSS, 2009. – 208 σελ.
3. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – Μ.: Ειρήνη και Παιδεία, 2013. – 608 σελ.
4. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: πρόσθετες ενότητες του σχολικού προγράμματος. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 σελ.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Η φόρμουλα του Heron Η φόρμουλα του Heron
εκφράζει περιοχή μικρόενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του ΕΝΑ, σιΚαι Μεκαι ημιπεριμετρική R = (ΕΝΑ + σι + Με)/2: . Πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας.
ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΗΡΩΝΑΣΗΡΩΝΑΣ ΦΟΡΜΟΥΛΑ, εκφράζει περιοχή μικρόενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του ένα, σιΚαι ντοκαι ημιπεριμετρική Π = (ένα + σι + ντο)/2
Πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας.
εγκυκλοπαιδικό λεξικό. 2009 .
Δείτε τι είναι η «φόρμουλα του Ήρωνα» σε άλλα λεξικά:
Εκφράζει το εμβαδόν S ενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του a, b και c και την ημιπερίμετρο P = (a + b + c)/2 Ονομάζεται από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Τύπος που εκφράζει το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω των τριών πλευρών του. Δηλαδή, αν a, b, C είναι το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου και S το εμβαδόν του, τότε το G. f. έχει τη μορφή: όπου το p δηλώνει την ημιπερίμετρο του τριγώνου G. f.... ...
Ένας τύπος που εκφράζει το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω των πλευρών του a, b, c: όπου πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα (περ. 1ος αιώνας μ.Χ.), ο A. B. Ivanov ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια
Εκφράζει το εμβαδόν 5 ενός τριγώνου στα μήκη των τριών πλευρών του a, b και c και την ημιπερίμετρο p = (a + b + c)/2: s = τετράγωνο. ρίζα p(p a)(p b)(p c). Πήρε το όνομά του από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό
- ... Βικιπαίδεια
Σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου (S) με βάση τις πλευρές του a, b, c: όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου: . Απόδειξη όπου η γωνία είναι τριγωνική... Wikipedia
Εκφράζει το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο σε συνάρτηση με τα μήκη των πλευρών του. Αν ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχει μήκη πλευρών και ημιπερίμετρο, τότε το εμβαδόν του είναι ... Wikipedia
Αυτό το άρθρο δεν διαθέτει συνδέσμους προς πηγές πληροφοριών. Οι πληροφορίες πρέπει να είναι επαληθεύσιμες, διαφορετικά ενδέχεται να τεθούν υπό αμφισβήτηση και να διαγραφούν. Μπορείτε να επεξεργαστείτε αυτό το άρθρο για να περιλαμβάνει συνδέσμους προς έγκυρες πηγές. Αυτό το σήμα... ... Wikipedia
- (Ήρωνος Αλεξανδρινός) (άγνωστα χρόνια γέννησης και θανάτου, πιθανώς 1ος αιώνας), αρχαίος Έλληνας επιστήμονας που εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια. Ο συγγραφέας έργων στα οποία περιέγραψε συστηματικά τα κύρια επιτεύγματα του αρχαίου κόσμου στον τομέα της εφαρμοσμένης μηχανικής, V... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
Αλεξανδρινός (Heronus Alexandrinus) (άγνωστα χρόνια γέννησης και θανάτου, πιθανώς 1ος αιώνας), αρχαίος Έλληνας επιστήμονας που εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια. Ο συγγραφέας έργων στα οποία περιέγραψε συστηματικά τα κύρια επιτεύγματα του αρχαίου κόσμου στον τομέα της... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
Παρά το γεγονός ότι για τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας, που έζησε τον 1ο αιώνα μ.Χ. μι. πολύ λίγα είναι γνωστά. Αλλά ακόμη και με βάση αυτά τα έργα που μας έχουν φτάσει, μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι ο Ήρων από την Αλεξάνδρεια ήταν ο μεγαλύτερος αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και λαμπρός μηχανικός. Οι άνθρωποι που έρχονταν στο ναό ήταν απερίγραπτα ενθουσιασμένοι και έκπληκτοι από τις πόρτες που άνοιξαν αυτόματα. ένα μηχάνημα αυτόματης πώλησης που έδινε αγιασμό για ένα κέρμα. Ο Heron πιστώνεται με την εφεύρεση του ατμοστρόβιλου, της βαλλίστρας πυροβόλου όπλου, του αυτόματου θεάτρου και πολλά άλλα. Δυστυχώς, δεν βρήκαν εφαρμογή όλες οι εφευρέσεις του. Ένας μαθηματικός τύπος ονομάστηκε προς τιμήν του Heron, ο οποίος καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου με βάση το μέγεθος των πλευρών του. Ένα τρίγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που προκύπτει από τη σύνδεση τριών σημείων που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία χρησιμοποιώντας τμήματα. Αυτά τα σημεία ονομάζονται συνήθως κορυφές και τα τμήματα ονομάζονται πλευρές του τριγώνου. Εάν οι τιμές όλων των πλευρών είναι γνωστές, τότε χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο:
όπου de a, b, c είναι τα μεγέθη των πλευρών του τριγώνου και p είναι η ημιπερίμετρος, που ισούται με το άθροισμα των τριών πλευρών διαιρούμενο με το 2.
Ο Ήρων θεώρησε τρίγωνα των οποίων οι πλευρές ήταν ακέραιοι· κατά συνέπεια, τα εμβαδά των τριγώνων ήταν ακέραιοι. Αυτά τα τρίγωνα ονομάζονται τρίγωνα του Ήρωνα.
