Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο στο διαδίκτυο. Σύγκριση κλασμάτων: κανόνες, παραδείγματα, λύσεις
Δύο άνισα κλάσματα υπόκεινται σε περαιτέρω σύγκριση για να διαπιστωθεί ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο και ποιο είναι μικρότερο. Για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα, υπάρχει ένας κανόνας σύγκρισης κλασμάτων, τον οποίο θα διατυπώσουμε παρακάτω και θα δούμε επίσης παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα όταν συγκρίνουμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους και διαφορετικούς. Συμπερασματικά, θα δείξουμε πώς να συγκρίνουμε κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές χωρίς να τα ανάγουμε σε κοινό παρονομαστή και θα δούμε επίσης πώς να συγκρίνουμε ένα κοινό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστέςείναι ουσιαστικά μια σύγκριση του αριθμού των πανομοιότυπων μετοχών. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 3/7 καθορίζει 3 μέρη 1/7 και το κλάσμα 8/7 αντιστοιχεί σε 8 μέρη 1/7, επομένως η σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές 3/7 και 8/7 καταλήγει στη σύγκριση των αριθμών 3 και 8, δηλαδή, για σύγκριση αριθμητών.
Από αυτές τις σκέψεις προκύπτει κανόνας σύγκρισης κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές: από δύο κλάσματα με ίδιους παρονομαστές, τόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος και τόσο μικρότερο είναι το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος.
Ο αναφερόμενος κανόνας εξηγεί πώς να συγκρίνετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Ας δούμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του κανόνα σύγκρισης κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
Παράδειγμα.
Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο: 65/126 ή 87/126;
Λύση.
Οι παρονομαστές των συγκριτικών συνηθισμένων κλασμάτων είναι ίσοι και ο αριθμητής 87 του κλάσματος 87/126 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή 65 του κλάσματος 65/126 (αν χρειάζεται, δείτε τη σύγκριση φυσικών αριθμών). Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, το κλάσμα 87/126 είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα 65/126.
Απάντηση:
Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστέςμπορεί να αναχθεί στη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται απλώς να φέρετε τα συγκριτικά συνηθισμένα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Έτσι, για να συγκρίνετε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, χρειάζεστε
- να μειώσει τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
- Συγκρίνετε τα κλάσματα που προκύπτουν με τους ίδιους παρονομαστές.
Ας δούμε τη λύση στο παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Συγκρίνετε το κλάσμα 5/12 με το κλάσμα 9/16.
Λύση.
Αρχικά, ας φέρουμε αυτά τα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές σε έναν κοινό παρονομαστή (δείτε τον κανόνα και τα παραδείγματα φέρνοντας τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή). Ως κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ίσο με LCM(12, 16)=48. Τότε ο πρόσθετος παράγοντας του κλάσματος 5/12 θα είναι ο αριθμός 48:12=4, και ο πρόσθετος παράγοντας του κλάσματος 9/16 θα είναι ο αριθμός 48:16=3. Παίρνουμε 
Και 
.
Συγκρίνοντας τα κλάσματα που προκύπτουν, έχουμε . Επομένως, το κλάσμα 5/12 είναι μικρότερο από το κλάσμα 9/16. Αυτό ολοκληρώνει τη σύγκριση των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Απάντηση:
Ας βρούμε έναν άλλο τρόπο σύγκρισης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, ο οποίος θα σας επιτρέψει να συγκρίνετε κλάσματα χωρίς να τα ανάγετε σε έναν κοινό παρονομαστή και όλες τις δυσκολίες που σχετίζονται με αυτήν τη διαδικασία.
Για να συγκριθούν τα κλάσματα a/b και c/d, μπορούν να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή b·d, ίσο με το γινόμενο των παρονομαστών των κλασμάτων που συγκρίνονται. Στην περίπτωση αυτή, οι πρόσθετοι συντελεστές των κλασμάτων a/b και c/d είναι οι αριθμοί d και b, αντίστοιχα, και τα αρχικά κλάσματα ανάγονται σε κλάσματα με κοινό παρονομαστή b·d. Υπενθυμίζοντας τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, συμπεραίνουμε ότι η σύγκριση των αρχικών κλασμάτων a/b και c/d έχει αναχθεί σε σύγκριση των γινομένων a·d και c·b.
Αυτό συνεπάγεται το εξής κανόνας σύγκρισης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές: αν a d>b c , τότε , και αν a d Ας δούμε τη σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές με αυτόν τον τρόπο. Παράδειγμα. Συγκρίνετε τα κοινά κλάσματα 5/18 και 23/86. Λύση. Σε αυτό το παράδειγμα, a=5, b=18, c=23 και d=86. Ας υπολογίσουμε τα γινόμενα ad·d και b·c. Έχουμε a·d=5·86=430 και b·c=18·23=414. Αφού 430>414, τότε το κλάσμα 5/18 είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα 23/86. Απάντηση: Τα κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές μπορούν σίγουρα να συγκριθούν χρησιμοποιώντας τους κανόνες που συζητήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. Ωστόσο, το αποτέλεσμα της σύγκρισης τέτοιων κλασμάτων μπορεί εύκολα να ληφθεί συγκρίνοντας τους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων. Υπάρχει κάτι τέτοιο κανόνας σύγκρισης κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές: από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο και το κλάσμα με τον μεγαλύτερο παρονομαστή είναι μικρότερο. Ας δούμε το παράδειγμα λύσης. Παράδειγμα. Συγκρίνετε τα κλάσματα 54/19 και 54/31. Λύση. Εφόσον οι αριθμητές των κλασμάτων που συγκρίνονται είναι ίσοι και ο παρονομαστής 19 του κλάσματος 54/19 είναι μικρότερος από τον παρονομαστή 31 του κλάσματος 54/31, τότε το 54/19 είναι μεγαλύτερο από το 54/31. Οι κανόνες για τη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων εξαρτώνται από τον τύπο του κλάσματος (κατάλληλο, ακατάλληλο, μικτό κλάσμα) και από τους παρονομαστές (ίδιοι ή διαφορετικοί) των κλασμάτων που συγκρίνονται. Κανόνας. Για να συγκρίνετε δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να συγκρίνετε τους αριθμητές τους. Μεγαλύτερο (λιγότερο) είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος (μικρότερος). Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα: Κανόνας. Τα ακατάλληλα και μικτά κλάσματα είναι πάντα μεγαλύτερα από οποιοδήποτε σωστό κλάσμα. Ένα σωστό κλάσμα είναι εξ ορισμού μικρότερο από 1, επομένως τα ακατάλληλα και μικτά κλάσματα (αυτά που περιέχουν αριθμό ίσο ή μεγαλύτερο από 1) είναι μεγαλύτερα από ένα σωστό κλάσμα. Κανόνας. Από δύο μικτά κλάσματα, μεγαλύτερο (μικρότερο) είναι εκείνο του οποίου ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος είναι μεγαλύτερο (μικρότερο). Όταν τα ολόκληρα μέρη των μικτών κλασμάτων είναι ίσα, το κλάσμα με το μεγαλύτερο (μικρότερο) κλασματικό μέρος είναι μεγαλύτερο (μικρότερο). Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα: Παρόμοια με τη σύγκριση φυσικών αριθμών στην αριθμητική γραμμή, το μεγαλύτερο κλάσμα βρίσκεται στα δεξιά του μικρότερου κλάσματος. Τα κλάσματα συνήθως συγκρίνονται για να μάθουμε ποιο είναι μεγαλύτερο και ποιο μικρότερο. Για να συγκρίνετε κλάσματα, πρέπει να τα μειώσετε στον ίδιο παρονομαστή, τότε το κλάσμα με μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο και αυτό με μικρότερο αριθμητή είναι μικρότερο. Το πιο δύσκολο κομμάτι είναι να καταλάβουμε πώς να κάνουμε τα κλάσματα να έχουν τους ίδιους παρονομαστές, αλλά δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Θα σας πούμε πώς να τα κάνετε όλα αυτά. Συνέχισε να διαβάζεις! Μάθετε εάν τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές ή όχι.Ο παρονομαστής είναι ο αριθμός κάτω από τη γραμμή του κλάσματος, στο κάτω μέρος, και ο αριθμητής βρίσκεται στην κορυφή. Για παράδειγμα, το κλάσμα 5/7 και 9/13 δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο παρονομαστή. Βρείτε τον κοινό παρονομαστή.Για να συγκρίνετε τα κλάσματα, πρέπει πρώτα να βρείτε έναν κοινό παρονομαστή. Αυτό είναι απαραίτητο για σύγκριση, καθώς και για την εκτέλεση μαθηματικών πράξεων με κλάσματα, πρόσθεση, αφαίρεση κ.λπ. Κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση, πρέπει να αναζητήσετε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση (συγκρίνοντας κλάσματα), μπορείτε μόνο να πολλαπλασιάσετε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων και ο αριθμός που θα προκύψει θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Θυμηθείτε, αυτή η μέθοδος εύρεσης κοινού παρονομαστή λειτουργεί ΜΟΝΟ κατά τη σύγκριση κλασμάτων (όχι πρόσθεση, αφαίρεση κ.λπ.) Αλλάξτε τους αριθμητές των κλασμάτων.Μόλις βρείτε τον κοινό παρονομαστή, σε αυτήν την περίπτωση 91, θα χρειαστεί να αλλάξετε τους αριθμητές για να διατηρήσετε την τιμή του κλάσματος ίδια. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές ενός κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και τον αριθμητή του δεύτερου με τον παρονομαστή του πρώτου. Σαν αυτό: Αυτό το άρθρο εξετάζει τη σύγκριση κλασμάτων. Εδώ θα μάθουμε ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, θα εφαρμόσουμε τον κανόνα και θα δούμε παραδείγματα λύσεων. Ας συγκρίνουμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους και διαφορετικούς. Ας συγκρίνουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό. Όταν συγκρίνουμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, εργαζόμαστε μόνο με τον αριθμητή, που σημαίνει ότι συγκρίνουμε τα κλάσματα του αριθμού. Εάν υπάρχει ένα κλάσμα 3 7, τότε έχει 3 μέρη 1 7, τότε το κλάσμα 8 7 έχει 8 τέτοια μέρη. Με άλλα λόγια, εάν ο παρονομαστής είναι ίδιος, συγκρίνονται οι αριθμητές αυτών των κλασμάτων, δηλαδή το 3 7 και το 8 7 συγκρίνονται με τους αριθμούς 3 και 8. Αυτό ακολουθεί τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές: από τα υπάρχοντα κλάσματα με τους ίδιους εκθέτες, το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή θεωρείται μεγαλύτερο και αντίστροφα. Αυτό υποδηλώνει ότι πρέπει να προσέχετε τους αριθμητές. Για να γίνει αυτό, ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 1 Συγκρίνετε τα δοσμένα κλάσματα 65 126 και 87 126. Λύση
Επειδή οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίδιοι, προχωράμε στους αριθμητές. Από τους αριθμούς 87 και 65 είναι προφανές ότι το 65 είναι λιγότερο. Με βάση τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, έχουμε ότι το 87.126 είναι μεγαλύτερο από το 65.126. Απάντηση: 87 126 > 65 126 . Η σύγκριση τέτοιων κλασμάτων μπορεί να συσχετιστεί με σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους εκθέτες, αλλά υπάρχει μια διαφορά. Τώρα πρέπει να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Εάν υπάρχουν κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, για να τα συγκρίνετε πρέπει: Ας δούμε αυτές τις ενέργειες χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 2 Συγκρίνετε τα κλάσματα 5 12 και 9 16. Λύση
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να μειωθούν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Αυτό γίνεται με αυτόν τον τρόπο: βρείτε το LCM, δηλαδή τον λιγότερο κοινό διαιρέτη, 12 και 16. Αυτός ο αριθμός είναι 48. Είναι απαραίτητο να προσθέσετε πρόσθετους παράγοντες στο πρώτο κλάσμα 5 12, αυτός ο αριθμός βρίσκεται από το πηλίκο 48: 12 = 4, για το δεύτερο κλάσμα 9 16 – 48: 16 = 3. Ας γράψουμε το αποτέλεσμα ως εξής: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 και 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48. Αφού συγκρίνουμε τα κλάσματα παίρνουμε ότι 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 . Απάντηση: 5 12 < 9 16 .
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος σύγκρισης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Εκτελείται χωρίς αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Για να συγκρίνουμε τα κλάσματα a b και c d, τα ανάγουμε σε κοινό παρονομαστή και μετά b · d, δηλαδή το γινόμενο αυτών των παρονομαστών. Τότε πρόσθετοι παράγοντες για τα κλάσματα θα είναι οι παρονομαστές του γειτονικού κλάσματος. Αυτό θα γραφτεί ως a · d b · d και c · b d · b . Χρησιμοποιώντας τον κανόνα με πανομοιότυπους παρονομαστές, έχουμε ότι η σύγκριση των κλασμάτων έχει αναχθεί σε συγκρίσεις των γινομένων a · d και c · b. Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές: αν a · d > b · c, τότε a b > c d, αλλά αν a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями. Παράδειγμα 3 Συγκρίνετε τα κλάσματα 5 18 και 23 86. Λύση
Αυτό το παράδειγμα έχει a = 5, b = 18, c = 23 και d = 86. Τότε είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των ad·d και b·c. Από αυτό προκύπτει ότι a · d = 5 · 86 = 430 και b · c = 18 · 23 = 414. Αλλά 430 > 414, τότε το δεδομένο κλάσμα 5 18 είναι μεγαλύτερο από 23 86. Απάντηση: 5 18 > 23 86 .
Αν τα κλάσματα έχουν τους ίδιους αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές, τότε μπορείτε να πραγματοποιήσετε τη σύγκριση σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο. Το αποτέλεσμα της σύγκρισης είναι δυνατό συγκρίνοντας τους παρονομαστές τους. Υπάρχει ένας κανόνας για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές :
Από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, το κλάσμα που έχει τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο και το αντίστροφο. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 4 Συγκρίνετε τα κλάσματα 54 19 και 54 31. Λύση
Έχουμε ότι οι αριθμητές είναι ίδιοι, που σημαίνει ότι ένα κλάσμα με παρονομαστή 19 είναι μεγαλύτερο από ένα κλάσμα με παρονομαστή 31. Αυτό είναι κατανοητό με βάση τον κανόνα. Απάντηση: 54 19 > 54 31 . Διαφορετικά, μπορούμε να δούμε ένα παράδειγμα. Υπάρχουν δύο πιάτα στα οποία υπάρχουν 1 2 πίτες, και άλλα 1 16 anna. Αν φάτε 1 2 πίτες, θα χορτάσετε γρηγορότερα από μόλις 1 16. Εξ ου και το συμπέρασμα είναι ότι υψηλότερος παρονομαστήςμε ίσους αριθμητές είναι ο μικρότερος κατά τη σύγκριση κλασμάτων. Η σύγκριση ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό είναι το ίδιο με τη σύγκριση δύο κλασμάτων με τους παρονομαστές που είναι γραμμένοι στη μορφή 1. Για μια λεπτομερή ματιά, δίνουμε ένα παράδειγμα παρακάτω. Παράδειγμα 4 Πρέπει να γίνει σύγκριση μεταξύ 63 8 και 9 . Λύση
Είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε τον αριθμό 9 ως κλάσμα 9 1. Τότε πρέπει να συγκρίνουμε τα κλάσματα 63 8 και 9 1. Ακολουθεί αναγωγή σε κοινό παρονομαστή με την εύρεση πρόσθετων παραγόντων. Μετά από αυτό βλέπουμε ότι πρέπει να συγκρίνουμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές 63 8 και 72 8. Με βάση τον κανόνα σύγκρισης, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 . Απάντηση: 63 8 < 9 . Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+EnterΣύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές
Συγκρίνοντας σωστά, ακατάλληλα και μικτά κλάσματα μεταξύ τους.
Βήματα
Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές
Σύγκριση κλάσματος με φυσικό αριθμό
