Γενικός κανόνας σύγκρισης κλασμάτων. Σύγκριση κλασμάτων

Δύο άνισα κλάσματα υπόκεινται σε περαιτέρω σύγκριση για να διαπιστωθεί ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο και ποιο είναι μικρότερο. Για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα, υπάρχει ένας κανόνας σύγκρισης κλασμάτων, τον οποίο θα διατυπώσουμε παρακάτω και θα δούμε επίσης παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα όταν συγκρίνουμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους και διαφορετικούς. Συμπερασματικά, θα δείξουμε πώς να συγκρίνουμε κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές χωρίς να τα ανάγουμε σε κοινό παρονομαστή και θα δούμε επίσης πώς να συγκρίνουμε ένα κοινό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Σύγκριση κλασμάτων με ίδιοι παρονομαστές είναι ουσιαστικά μια σύγκριση του αριθμού των πανομοιότυπων μετοχών. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 3/7 καθορίζει 3 μέρη 1/7 και το κλάσμα 8/7 αντιστοιχεί σε 8 μέρη 1/7, επομένως η σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές 3/7 και 8/7 καταλήγει στη σύγκριση των αριθμών 3 και 8, δηλαδή, για σύγκριση αριθμητών.

Από αυτές τις σκέψεις προκύπτει κανόνας σύγκρισης κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές: από δύο κλάσματα με ίδιους παρονομαστές, τόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος και τόσο μικρότερο είναι το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος.

Ο αναφερόμενος κανόνας εξηγεί πώς να συγκρίνετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Ας δούμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του κανόνα σύγκρισης κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Παράδειγμα.

Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο: 65/126 ή 87/126;

Λύση.

Οι παρονομαστές των συγκριτικών συνηθισμένων κλασμάτων είναι ίσοι και ο αριθμητής 87 του κλάσματος 87/126 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή 65 του κλάσματος 65/126 (αν χρειάζεται, δείτε τη σύγκριση φυσικών αριθμών). Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, το κλάσμα 87/126 είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα 65/126.

Απάντηση:

Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστέςμπορεί να αναχθεί στη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται απλώς να φέρετε τα συγκριτικά συνηθισμένα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.

Έτσι, για να συγκρίνετε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, χρειάζεστε

να μειώσει τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Συγκρίνετε τα κλάσματα που προκύπτουν με τους ίδιους παρονομαστές.

Ας δούμε τη λύση στο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Συγκρίνετε το κλάσμα 5/12 με το κλάσμα 9/16.

Λύση.

Αρχικά, ας φέρουμε αυτά τα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές σε έναν κοινό παρονομαστή (δείτε τον κανόνα και τα παραδείγματα φέρνοντας τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή). Ως κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ίσο με LCM(12, 16)=48. Τότε ο πρόσθετος παράγοντας του κλάσματος 5/12 θα είναι ο αριθμός 48:12=4, και ο πρόσθετος παράγοντας του κλάσματος 9/16 θα είναι ο αριθμός 48:16=3. Παίρνουμε Και .

Συγκρίνοντας τα κλάσματα που προκύπτουν, έχουμε . Επομένως, το κλάσμα 5/12 είναι μικρότερο από το κλάσμα 9/16. Αυτό ολοκληρώνει τη σύγκριση των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Απάντηση:

Ας βρούμε έναν άλλο τρόπο σύγκρισης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, ο οποίος θα σας επιτρέψει να συγκρίνετε κλάσματα χωρίς να τα ανάγετε σε έναν κοινό παρονομαστή και όλες τις δυσκολίες που σχετίζονται με αυτήν τη διαδικασία.

Για να συγκριθούν τα κλάσματα a/b και c/d, μπορούν να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή b·d, ίσο με το γινόμενο των παρονομαστών των κλασμάτων που συγκρίνονται. Στην περίπτωση αυτή, οι πρόσθετοι συντελεστές των κλασμάτων a/b και c/d είναι οι αριθμοί d και b, αντίστοιχα, και τα αρχικά κλάσματα ανάγονται σε κλάσματα με κοινό παρονομαστή b·d. Υπενθυμίζοντας τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, συμπεραίνουμε ότι η σύγκριση των αρχικών κλασμάτων a/b και c/d έχει αναχθεί σε σύγκριση των γινομένων a·d και c·b.

Αυτό συνεπάγεται το εξής κανόνας σύγκρισης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές: αν a d>b c , τότε , και αν a d

Ας δούμε τη σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές με αυτόν τον τρόπο.

Παράδειγμα.

Συγκρίνετε τα κοινά κλάσματα 5/18 και 23/86.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, a=5, b=18, c=23 και d=86. Ας υπολογίσουμε τα γινόμενα ad·d και b·c. Έχουμε a·d=5·86=430 και b·c=18·23=414. Αφού 430>414, τότε το κλάσμα 5/18 είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα 23/86.

Απάντηση:

Σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές

Τα κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές μπορούν σίγουρα να συγκριθούν χρησιμοποιώντας τους κανόνες που συζητήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. Ωστόσο, το αποτέλεσμα της σύγκρισης τέτοιων κλασμάτων μπορεί εύκολα να ληφθεί συγκρίνοντας τους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων.

Υπάρχει κάτι τέτοιο κανόνας σύγκρισης κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές: από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο και το κλάσμα με τον μεγαλύτερο παρονομαστή είναι μικρότερο.

Ας δούμε το παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Συγκρίνετε τα κλάσματα 54/19 και 54/31.

Λύση.

Εφόσον οι αριθμητές των κλασμάτων που συγκρίνονται είναι ίσοι και ο παρονομαστής 19 του κλάσματος 54/19 είναι μικρότερος από τον παρονομαστή 31 του κλάσματος 54/31, τότε το 54/19 είναι μεγαλύτερο από το 54/31.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός:διδάξτε πώς να συγκρίνετε κλάσματα διάφοροι τύποιχρησιμοποιώντας διάφορες τεχνικές·
Εκπαιδευτικός:ανάπτυξη βασικών τεχνικών νοητικής δραστηριότητας, γενίκευση σύγκρισης, επισήμανση του κύριου πράγματος. ανάπτυξη μνήμης, ομιλίας.
Εκπαιδευτικός:να μάθουν να ακούν ο ένας τον άλλον, να καλλιεργούν την αμοιβαία βοήθεια, μια κουλτούρα επικοινωνίας και συμπεριφοράς.

Βήματα μαθήματος:

1. Οργανωτική.

Ας ξεκινήσουμε το μάθημα με τα λόγια του Γάλλου συγγραφέα A. France: «Η μάθηση μπορεί να είναι διασκεδαστική... Για να χωνέψεις τη γνώση, πρέπει να την απορροφήσεις με όρεξη».

Ας ακολουθήσουμε αυτή τη συμβουλή, ας προσπαθήσουμε να είμαστε προσεκτικοί και ας απορροφήσουμε τη γνώση με μεγάλη επιθυμία, γιατί... θα μας φανούν χρήσιμα στο μέλλον.

2. Επικαιροποίηση των γνώσεων των μαθητών.

1.) Μετωπική προφορική εργασία μαθητών.

Στόχος: η επανάληψη του καλυπτόμενου υλικού, το οποίο απαιτείται κατά την εκμάθηση νέων πραγμάτων:

Α) κανονικά και ακατάλληλα κλάσματα.
Β) φέρνοντας τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή.
Γ) εύρεση του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή.

(Εργαζόμαστε με αρχεία. Οι μαθητές τα έχουν διαθέσιμα σε κάθε μάθημα. Γράφουν απαντήσεις σε αυτά με μαρκαδόρο και στη συνέχεια διαγράφονται οι περιττές πληροφορίες.)

Εργασίες για προφορική εργασία.

1. Ονομάστε το επιπλέον κλάσμα στην αλυσίδα:

Α) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Β) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Μειώσε τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων:

1/5 και 2/7; 3/4 και 1/6; 2/9 και 1/2.

2.) Κατάσταση παιχνιδιού.

Παιδιά, ο φίλος μας ο κλόουν (οι μαθητές τον γνώρισαν στην αρχή της σχολικής χρονιάς) με ζήτησε να τον βοηθήσω να λύσει ένα πρόβλημα. Αλλά πιστεύω ότι μπορείτε να βοηθήσετε τον φίλο μας χωρίς εμένα. Και το έργο είναι επόμενο.

«Σύγκρινε κλάσματα:

α) 1/2 και 1/6.
β) 3/5 και 1/3;
γ) 5/6 και 1/6;
δ) 12/7 και 4/7.
ε) 3 1/7 και 3 1/5;
ε) 7 5/6 και 3 1/2;
ζ) 1/10 και 1;
η) 10/3 και 1;
i) 7/7 και 1."

Παιδιά, για να βοηθήσουμε τον κλόουν, τι να μάθουμε;

Ο σκοπός του μαθήματος, οι εργασίες (οι μαθητές διατυπώνουν ανεξάρτητα).

Ο δάσκαλος τους βοηθά κάνοντας ερωτήσεις:

α) ποια ζεύγη κλασμάτων μπορούμε ήδη να συγκρίνουμε;

β) τι εργαλείο χρειαζόμαστε για να συγκρίνουμε κλάσματα;

3. Παιδιά σε γκρουπ (σε μόνιμες πολυεπίπεδες ομάδες).

Σε κάθε ομάδα δίνεται μια εργασία και οδηγίες για την ολοκλήρωσή της.

Πρώτη ομάδα : Συγκρίνετε μικτά κλάσματα:

α) 1 1/2 και 2 5/6.
β) 3 1/2 και 3 4/5

και να εξάγετε κανόνα για την εξίσωση μικτών κλασμάτων με ίδια και με διαφορετικά ακέραια μέρη.

Οδηγίες: Σύγκριση μικτών κλασμάτων (χρησιμοποιώντας δέσμη αριθμών)

συγκρίνετε ολόκληρα μέρη κλασμάτων και βγάλτε συμπέρασμα.
συγκρίνετε κλασματικά μέρη (μην εμφανίζεται ο κανόνας για τη σύγκριση κλασματικών μερών).
φτιάξε έναν κανόνα - έναν αλγόριθμο:

Δεύτερη ομάδα: Συγκρίνετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές και διαφορετικούς αριθμητές. (χρησιμοποιήστε δέσμη αριθμών)

α) 6/7 και 9/14.
β) 5/11 και 1/22

Οδηγίες

Συγκρίνετε παρονομαστές
Σκεφτείτε αν είναι δυνατόν να ανάγεται τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή
Ξεκινήστε τον κανόνα με τις λέξεις: "Για να συγκρίνετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει..."

Τρίτη ομάδα: Σύγκριση κλασμάτων με ένα.

α) 2/3 και 1;
β) 8/7 και 1;
γ) 10/10 και 1 και διατυπώστε έναν κανόνα.

Οδηγίες

Εξετάστε όλες τις περιπτώσεις: (χρησιμοποιήστε δέσμη αριθμών)

α) Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ίσος με τον παρονομαστή, ………;
β) Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρονομαστή,………;
γ) Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή,………. .

Διατυπώστε έναν κανόνα.

Τέταρτη ομάδα: Συγκρίνετε κλάσματα:

α) 5/8 και 3/8.
β) 1/7 και 4/7 και να διατυπώσετε έναν κανόνα σύγκρισης κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή.

Οδηγίες

Χρησιμοποιήστε την αριθμητική δέσμη.

Συγκρίνετε τους αριθμητές και βγάλτε ένα συμπέρασμα, ξεκινώντας με τις λέξεις: "Από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές .....".

Πέμπτη ομάδα: Συγκρίνετε κλάσματα:

α) 1/6 και 1/3.
β) 4/9 και 4/3, χρησιμοποιώντας την αριθμητική δέσμη:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Να διατυπώσετε έναν κανόνα σύγκρισης κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές.

Οδηγίες

Συγκρίνετε τους παρονομαστές και βγάλτε ένα συμπέρασμα ξεκινώντας με τις λέξεις:

«Από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές………..».

Έκτη ομάδα: Συγκρίνετε κλάσματα:

α) 4/3 και 5/6. β) 7/2 και 1/2 με χρήση αριθμητικής δέσμης

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Διατυπώστε έναν κανόνα για τη σύγκριση σωστών και ακατάλληλων κλασμάτων.

Οδηγίες.

Σκεφτείτε ποιο κλάσμα είναι πάντα μεγαλύτερο, σωστό ή ακατάλληλο.

4. Συζήτηση των συμπερασμάτων που έγιναν σε ομάδες.

Μια λέξη για κάθε ομάδα. Διατύπωση κανόνων μαθητών και σύγκρισή τους με τα πρότυπα των αντίστοιχων κανόνων. Στη συνέχεια, δίνονται εκτυπώσεις των κανόνων για τη σύγκριση διαφορετικών τύπων συνηθισμένων κλασμάτων σε κάθε μαθητή.

5. Ας επιστρέψουμε στην εργασία που τέθηκε στην αρχή του μαθήματος. (Λύνουμε μαζί το πρόβλημα του κλόουν).

6. Εργασία σε τετράδια. Χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τη σύγκριση κλασμάτων, οι μαθητές, υπό την καθοδήγηση του δασκάλου, συγκρίνουν κλάσματα:

α) 13/8 και 25/8.
β)11/42 και 3/42;
γ) 7/5 και 1/5;
δ) 21/18 και 7/3.
ε) 2 1/2 και 3 1/5;
ε) 5 1/2 και 5 4/3;

(είναι δυνατή η πρόσκληση του μαθητή στον πίνακα).

7. Οι μαθητές καλούνται να ολοκληρώσουν ένα τεστ συγκρίνοντας κλάσματα με δύο επιλογές.

Επιλογή 1.

1) συγκρίνετε κλάσματα: 1/8 και 1/12

α) 1/8 > 1/12;
β) 1/8<1/12;
γ) 1/8=1/12

2) Ποιο είναι μεγαλύτερο: 5/13 ή 7/13;

α) 5/13;
β) 7/13;
γ) ίσο

3) Ποιο είναι μικρότερο: 2\3 ή 4/6;

α) 2/3;
β) 4/6;
γ) ίσο

4) Ποιο κλάσμα είναι μικρότερο από 1: 3/5; 17/9; 7/7;

α) 3/5;
β) 17/9;
γ) 7/7

5) Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1: ?; 7/8; 4/3;

α) 1/2;
β) 7/8;
γ) 4/3

6) Συγκρίνετε κλάσματα: 2 1/5 και 1 7/9

α) 2 1/5<1 7/9;
β) 2 1/5 = 1 7/9;
γ) 2 1/5 >1 7/9

Επιλογή 2.

1) συγκρίνετε κλάσματα: 3/5 και 3/10

α) 3/5 > 3/10;
β) 3/5<3/10;
γ) 3/5=3/10

2) Ποιο είναι μεγαλύτερο: 10/12 ή 1/12;

α) ίσος·
β) 10/12;
γ) 1/12

3) Ποιο είναι λιγότερο: 3/5 ή 1/10;

α) 3/5;
β) 1/10;
γ) ίσο

4) Ποιο κλάσμα είναι μικρότερο από 1: 4/3;1/15;16/16;

α) 4/3;
β) 1/15;
γ) 16/16

5) Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1: 2/5;9/8;11/12;

α) 2/5;
β) 9/8;
γ) 11/12

6) Συγκρίνετε κλάσματα: 3 1/4 και 3 2/3

α) 3 1/4=3 2/3;
β) 3 1/4 > 3 2/3;
γ) 3 1/4< 3 2/3

Απαντήσεις στο τεστ:

Επιλογή 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Επιλογή 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Για άλλη μια φορά επιστρέφουμε στον σκοπό του μαθήματος.

Ελέγχουμε τους κανόνες σύγκρισης και δίνουμε διαφοροποιημένες εργασίες για το σπίτι:

Ομάδες 1,2,3 – βρείτε δύο παραδείγματα σύγκρισης για κάθε κανόνα και λύστε τα.

4,5,6 ομάδες - Νο 83 α, β, γ, Νο. 84 α, β, γ (από το σχολικό βιβλίο).

Οι κανόνες για τη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων εξαρτώνται από τον τύπο του κλάσματος (κατάλληλο, ακατάλληλο, μικτό κλάσμα) και από τους παρονομαστές (ίδιοι ή διαφορετικοί) των κλασμάτων που συγκρίνονται.

Αυτή η ενότητα εξετάζει επιλογές για τη σύγκριση κλασμάτων που έχουν τους ίδιους αριθμητές ή παρονομαστές.

Κανόνας. Για να συγκρίνετε δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να συγκρίνετε τους αριθμητές τους. Μεγαλύτερο (λιγότερο) είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος (μικρότερος).

Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα:

Κανόνας. Για να συγκρίνετε σωστά κλάσματα με παρόμοιους αριθμητές, πρέπει να συγκρίνετε τους παρονομαστές τους. Μεγαλύτερο (λιγότερο) είναι ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι μικρότερος (μεγαλύτερος).

Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα:

Συγκρίνοντας σωστά, ακατάλληλα και μικτά κλάσματα μεταξύ τους

Κανόνας. Τα ακατάλληλα και μικτά κλάσματα είναι πάντα μεγαλύτερα από οποιοδήποτε σωστό κλάσμα.

Ένα σωστό κλάσμα είναι εξ ορισμού μικρότερο από 1, επομένως τα ακατάλληλα και μικτά κλάσματα (αυτά που περιέχουν αριθμό ίσο ή μεγαλύτερο από 1) είναι μεγαλύτερα από ένα σωστό κλάσμα.

Κανόνας. Από δύο μικτά κλάσματα, μεγαλύτερο (μικρότερο) είναι εκείνο του οποίου ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος είναι μεγαλύτερο (μικρότερο). Όταν τα ολόκληρα μέρη των μικτών κλασμάτων είναι ίσα, το κλάσμα με το μεγαλύτερο (μικρότερο) κλασματικό μέρος είναι μεγαλύτερο (μικρότερο).

Συγκρίνετε δύο κλάσματα- σημαίνει να προσδιορίσουμε ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο, ποιο μικρότερο ή να διαπιστωθεί ότι τα κλάσματα είναι ίσα.

Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Από δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο.

Παράδειγμα.Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα κλάσμα επειδή τα μέρη και στα δύο κλάσματα είναι τα ίδια, αλλά υπάρχουν περισσότερα από αυτά στο πρώτο κλάσμα παρά στο δεύτερο.

Αν απεικονίσουμε μια μονάδα ως τμήμα και τη χωρίσουμε σε 8 μέρη, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι το κλάσμα είναι μεγαλύτερο:

Σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές

Από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο.

Παράδειγμα.Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα κλάσμα επειδή ο αριθμός των μερών και στα δύο κλάσματα είναι ο ίδιος, αλλά στο πρώτο κλάσμα τα μέρη είναι μεγαλύτερα από το δεύτερο.

Ας απεικονίσουμε δύο μονάδες με τη μορφή κύκλων, χωρίζουμε τη μία σε 4 μέρη, τη δεύτερη σε 6 μέρη. Τώρα μπορείτε να δείτε ότι το κλάσμα είναι μεγαλύτερο:

Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και αριθμητές

Για να συγκρίνετε κλάσματα που έχουν διαφορετικούς αριθμητές και παρονομαστές, πρέπει να τα αναγάγετε σε έναν κοινό παρονομαστή. Μετά από αυτό, συγκρίνονται σύμφωνα με τον κανόνα σύγκρισης κλασμάτων που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Παράδειγμα.Συγκρίνετε τα κλάσματα: και .

Λύση:

Τώρα τα συγκρίνουμε σύμφωνα με τον κανόνα σύγκρισης κλασμάτων που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αφού, αυτό σημαίνει.

Ας δώσουμε έναν άλλο τρόπο σύγκρισης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και αριθμητές. Ας δούμε πρώτα ένα αριθμητικό παράδειγμα.

Παράδειγμα.Ας συγκρίνουμε κλάσματα και .

Λύση:

Φέρνουμε αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή:

Επιλύοντας αυτό το παράδειγμα, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι, αφού φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, το πρόβλημα σύγκρισης περιορίστηκε στην πραγματικότητα στη σύγκριση των γινομένων 2 7 και 4 3. Αφού 2 7 = 14, και 4 3 = 12, τότε 2 7 > 4 · 3. Άρα, .

Τώρα ας λύσουμε το ίδιο πρόβλημα γενική εικόνα, χρησιμοποιώντας αλφαβητική σημειογραφία.

Παράδειγμα.Έστω τα δοσμένα κλάσματα και , όπου έναΚαι ντο- μηδενικοί ή φυσικοί αριθμοί, σιΚαι ρε- ακέραιοι αριθμοί. Ας φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή:

Ως εκ τούτου:

Έτσι, λάβαμε τον ακόλουθο κανόνα για τη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων:

Για να συγκρίνετε δύο συνηθισμένα κλάσματα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή του άλλου και να συγκρίνετε τα γινόμενα που προκύπτουν.

Αυτός ο κανόνας ονομάζεται διασταυρούμενος κανόνας για τη σύγκριση κλασμάτων.

Σύγκριση κλάσματος με φυσικό αριθμό

Κάθε σωστό κλάσμα είναι μικρότερο από οποιονδήποτε φυσικό αριθμό.

Παράδειγμα.

Η σύγκριση ενός ακατάλληλου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό καταλήγει στη σύγκριση δύο κλασμάτων.

Για να συγκρίνετε ένα ακατάλληλο κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να αναπαραστήσετε τον φυσικό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα με παρονομαστή 1 και, στη συνέχεια, μπορούν να συγκριθούν με έναν από τους δύο τρόπους: χρησιμοποιώντας τον κανόνα σταυρού ή αναγωγή των κλασμάτων σε ένα κοινό παρονομαστής. Μετά από αυτό, συγκρίνονται σύμφωνα με τον κανόνα σύγκρισης κλασμάτων που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Ας συνεχίσουμε να μελετάμε τα κλάσματα. Σήμερα θα μιλήσουμε για τη σύγκριση τους. Το θέμα είναι ενδιαφέρον και χρήσιμο. Θα επιτρέψει σε έναν αρχάριο να νιώσει σαν επιστήμονας με λευκό παλτό.

Η ουσία της σύγκρισης κλασμάτων είναι να ανακαλύψουμε ποιο από τα δύο κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο.

Για να απαντήσετε στην ερώτηση ποιο από τα δύο κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, χρησιμοποιήστε όπως περισσότερα (>) ή μικρότερα (<).

Οι μαθηματικοί έχουν ήδη φροντίσει για έτοιμους κανόνες που τους επιτρέπουν να απαντήσουν αμέσως στο ερώτημα ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο και ποιο μικρότερο. Αυτοί οι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν με ασφάλεια.

Θα εξετάσουμε όλους αυτούς τους κανόνες και θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Περιεχόμενο μαθήματος

Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Τα κλάσματα που πρέπει να συγκριθούν είναι διαφορετικά. Η καλύτερη περίπτωση είναι όταν τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές, αλλά διαφορετικούς αριθμητές. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ο ακόλουθος κανόνας:

Από δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο. Και κατά συνέπεια, το κλάσμα με τον μικρότερο αριθμητή θα είναι μικρότερο.

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε κλάσματα και ας απαντήσουμε ποιο από αυτά τα κλάσματα είναι μεγαλύτερο. Εδώ οι παρονομαστές είναι ίδιοι, αλλά οι αριθμητές είναι διαφορετικοί. Το κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμητή από το κλάσμα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από . Έτσι απαντάμε. Πρέπει να απαντήσετε χρησιμοποιώντας το εικονίδιο περισσότερα (>)

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε τις πίτσες, οι οποίες χωρίζονται σε τέσσερα μέρη. Υπάρχουν περισσότερες πίτσες από πίτσες:

Σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές

Η επόμενη περίπτωση που μπορούμε να μπούμε είναι όταν οι αριθμητές των κλασμάτων είναι ίδιοι, αλλά οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. Για τέτοιες περιπτώσεις προβλέπεται ο ακόλουθος κανόνας:

Από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο. Και κατά συνέπεια, το κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος είναι μικρότερο.

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους αριθμητές. Ένα κλάσμα έχει μικρότερο παρονομαστή από ένα κλάσμα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα. Απαντάμε λοιπόν:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε τις πίτσες, οι οποίες χωρίζονται σε τρία και τέσσερα μέρη. Υπάρχουν περισσότερες πίτσες από πίτσες:

Όλοι θα συμφωνήσουν ότι η πρώτη πίτσα είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη.

Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές

Συμβαίνει συχνά να πρέπει να συγκρίνετε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές.

Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα και . Για να απαντήσετε στην ερώτηση ποιο από αυτά τα κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Τότε μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο.

Ας φέρουμε τα κλάσματα στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Ας βρούμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. LCM των παρονομαστών των κλασμάτων και αυτός είναι ο αριθμός 6.

Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Ας διαιρέσουμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 6 με το 2, παίρνουμε έναν επιπλέον παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Τώρα ας βρούμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Ας διαιρέσουμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 6 με το 3, παίρνουμε έναν επιπλέον παράγοντα 2. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Ας πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να συγκρίνουμε τέτοια κλάσματα. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο:

Ο κανόνας είναι ο κανόνας και θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε γιατί είναι περισσότερο από . Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα στο κλάσμα. Δεν χρειάζεται να επισημάνουμε τίποτα στο κλάσμα, αφού το κλάσμα είναι ήδη σωστό.

Αφού απομονώσουμε το ακέραιο μέρος του κλάσματος, λαμβάνουμε την ακόλουθη έκφραση:

Τώρα μπορείτε εύκολα να καταλάβετε γιατί περισσότερο από . Ας σχεδιάσουμε αυτά τα κλάσματα ως πίτσες:

2 ολόκληρες πίτσες και πίτσες, περισσότερες από πίτσες.

Αφαίρεση μικτών αριθμών. Δύσκολες περιπτώσεις.

Όταν αφαιρείτε μεικτούς αριθμούς, μερικές φορές μπορείτε να διαπιστώσετε ότι τα πράγματα δεν πάνε τόσο ομαλά όσο θα θέλατε. Συμβαίνει συχνά όταν λύνετε ένα παράδειγμα, η απάντηση να μην είναι αυτή που θα έπρεπε να είναι.

Κατά την αφαίρεση αριθμών, το minuend πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το subtrahend. Μόνο σε αυτή την περίπτωση θα ληφθεί κανονική απάντηση.

Για παράδειγμα, 10−8=2

10 - μειούμενο

8 - υπόκρουση

2 - διαφορά

Το minuend 10 είναι μεγαλύτερο από το subtrahend 8, οπότε παίρνουμε την κανονική απάντηση 2.

Τώρα ας δούμε τι θα συμβεί αν το minuend είναι μικρότερο από το subtrahend. Παράδειγμα 5−7=−2

5—μειώνεται

7 - υπόκρουση

−2 — διαφορά

Σε αυτή την περίπτωση, ξεπερνάμε τα όρια των αριθμών που έχουμε συνηθίσει και βρισκόμαστε στον κόσμο των αρνητικών αριθμών, όπου είναι πολύ νωρίς για να περπατήσουμε και μάλιστα επικίνδυνο. Για να δουλέψουμε με αρνητικούς αριθμούς, χρειαζόμαστε κατάλληλη μαθηματική εκπαίδευση, την οποία δεν έχουμε λάβει ακόμη.

Εάν, κατά την επίλυση παραδειγμάτων αφαίρεσης, διαπιστώσετε ότι το minuend είναι μικρότερο από το subtrahend, τότε μπορείτε να παραλείψετε ένα τέτοιο παράδειγμα προς το παρόν. Επιτρέπεται η εργασία με αρνητικούς αριθμούς μόνο αφού τους μελετήσετε.

Η κατάσταση είναι ίδια με τα κλάσματα. Το minuend πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το subtrahend. Μόνο σε αυτή την περίπτωση θα είναι δυνατό να ληφθεί μια κανονική απάντηση. Και για να καταλάβετε εάν το κλάσμα που μειώνεται είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα που αφαιρείται, πρέπει να είστε σε θέση να συγκρίνετε αυτά τα κλάσματα.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε το παράδειγμα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αφαίρεσης. Για να το λύσετε, πρέπει να ελέγξετε αν το κλάσμα που μειώνεται είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα που αφαιρείται. περισσότερο από

ώστε να επιστρέψουμε με ασφάλεια στο παράδειγμα και να το λύσουμε:

Τώρα ας λύσουμε αυτό το παράδειγμα

Ελέγχουμε αν το κλάσμα που ανάγεται είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα που αφαιρείται. Διαπιστώνουμε ότι είναι λιγότερο:

Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο συνετό να σταματήσετε και να μην συνεχίσετε τον περαιτέρω υπολογισμό. Ας επιστρέψουμε σε αυτό το παράδειγμα όταν μελετάμε τους αρνητικούς αριθμούς.

Συνιστάται επίσης να ελέγξετε τους μικτούς αριθμούς πριν από την αφαίρεση. Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης .

Αρχικά, ας ελέγξουμε αν ο μεικτός αριθμός που μειώνεται είναι μεγαλύτερος από τον μεικτό αριθμό που αφαιρείται. Για να γίνει αυτό, μετατρέπουμε μεικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:

Λάβαμε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές. Για να συγκρίνετε τέτοια κλάσματα, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Δεν θα περιγράψουμε λεπτομερώς πώς να το κάνουμε αυτό. Εάν δυσκολεύεστε, φροντίστε να επαναλάβετε.

Αφού ανιώσουμε τα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, λαμβάνουμε την ακόλουθη παράσταση:

Τώρα πρέπει να συγκρίνετε τα κλάσματα και . Πρόκειται για κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο.

Το κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμητή από το κλάσμα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα.

Αυτό σημαίνει ότι το minuend είναι μεγαλύτερο από το subtrahend

Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας και να το λύσουμε με ασφάλεια:

Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Ας ελέγξουμε αν το minuend είναι μεγαλύτερο από το subtrahend.

Ας μετατρέψουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:

Λάβαμε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές. Ας ανάγουμε αυτά τα κλάσματα στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή:

Τώρα ας συγκρίνουμε τα κλάσματα και . Ένα κλάσμα έχει αριθμητή μικρότερο από ένα κλάσμα, που σημαίνει ότι το κλάσμα είναι μικρότερο από ένα κλάσμα