Allmän regel för att jämföra bråk. Jämföra bråk
Två ojämna fraktioner är föremål för ytterligare jämförelse för att ta reda på vilken fraktion som är större och vilken fraktion som är mindre. För att jämföra två bråk finns det en regel för att jämföra bråk, som vi kommer att formulera nedan, och vi ska även titta på exempel på tillämpningen av denna regel när vi jämför bråk med lika och olik nämnare. Avslutningsvis kommer vi att visa hur man jämför bråk med samma täljare utan att reducera dem till en gemensam nämnare, och vi kommer också att titta på hur man jämför ett vanligt bråk med ett naturligt tal.
Sidnavigering.
Jämföra bråk med samma nämnare
Jämföra bråk med samma nämnare är i huvudsak en jämförelse av antalet identiska aktier. Till exempel bestämmer det gemensamma bråket 3/7 3 delar 1/7, och bråket 8/7 motsvarar 8 delar 1/7, så att jämföra bråk med samma nämnare 3/7 och 8/7 handlar om att jämföra talen 3 och 8, det vill säga för att jämföra täljare.
Av dessa överväganden följer regel för att jämföra bråk med liknande nämnare: av två bråk med samma nämnare, desto större är bråkdelen vars täljare är större, och desto mindre är bråkdelen vars täljare är mindre.
Den angivna regeln förklarar hur man jämför bråk med samma nämnare. Låt oss titta på ett exempel på tillämpning av regeln för att jämföra bråk med lika nämnare.
Exempel.
Vilket bråktal är störst: 65/126 eller 87/126?
Lösning.
Nämnarna för de jämförda ordinarie bråken är lika, och täljaren 87 i bråket 87/126 är större än täljaren 65 i bråket 65/126 (se vid behov jämförelsen av naturliga tal). Därför, enligt regeln för att jämföra bråk med samma nämnare, är bråket 87/126 större än bråket 65/126.
Svar:
Jämföra bråk med olika nämnare
Jämföra bråk med olika nämnare kan reduceras till att jämföra bråk med samma nämnare. För att göra detta behöver du bara föra de jämförda vanliga bråken till en gemensam nämnare.
Så för att jämföra två bråk med olika nämnare behöver du
- reducera bråk till en gemensam nämnare;
- Jämför de resulterande bråken med samma nämnare.
Låt oss titta på lösningen på exemplet.
Exempel.
Jämför bråkdelen 5/12 med bråkdelen 9/16.
Lösning.
Låt oss först föra dessa bråk med olika nämnare till en gemensam nämnare (se regeln och exempel på hur bråken ska få en gemensam nämnare). Som en gemensam nämnare tar vi den lägsta gemensamma nämnaren lika med LCM(12, 16)=48. Då blir den extra faktorn för bråket 5/12 talet 48:12=4, och tilläggsfaktorn för bråket 9/16 blir talet 48:16=3. Vi får 
Och 
.
Jämför vi de resulterande bråken har vi . Därför är bråkdelen 5/12 mindre än bråkdelen 9/16. Detta avslutar jämförelsen av bråk med olika nämnare.
Svar:
Låt oss få ett annat sätt att jämföra bråk med olika nämnare, vilket gör att du kan jämföra bråk utan att reducera dem till en gemensam nämnare och alla svårigheter som är förknippade med denna process.
För att jämföra bråken a/b och c/d kan de reduceras till en gemensam nämnare b·d, lika med produkten av nämnare av bråken som jämförs. I detta fall är de ytterligare faktorerna för bråken a/b och c/d talen d respektive b, och de ursprungliga bråken reduceras till bråk med en gemensam nämnare b·d. Genom att komma ihåg regeln för att jämföra fraktioner med samma nämnare drar vi slutsatsen att jämförelsen av de ursprungliga fraktionerna a/b och c/d har reducerats till en jämförelse av produkterna a·d och c·b.
Detta innebär följande regel för att jämföra bråk med olika nämnare: om a d>b c , då , och om a d Låt oss titta på att jämföra bråk med olika nämnare på detta sätt. Exempel. Jämför de vanliga bråken 5/18 och 23/86. Lösning. I det här exemplet är a=5, b=18, c=23 och d=86. Låt oss beräkna produkterna a·d och b·c. Vi har a·d=5·86=430 och b·c=18·23=414. Eftersom 430>414 är bråkdelen 5/18 större än bråkdelen 23/86. Svar: Bråk med samma täljare och olika nämnare kan säkert jämföras med de regler som diskuterades i föregående stycke. Resultatet av att jämföra sådana bråk kan dock enkelt erhållas genom att jämföra nämnarna för dessa bråk. Det finns en sådan sak regel för att jämföra bråk med samma täljare: av två bråk med samma täljare är den med den mindre nämnaren större och bråkdelen med den större nämnaren är mindre. Låt oss titta på exempellösningen. Exempel. Jämför bråken 54/19 och 54/31. Lösning. Eftersom täljarna för de bråk som jämförs är lika, och nämnaren 19 i bråket 54/19 är mindre än nämnaren 31 i bråket 54/31, så är 54/19 större än 54/31. Lektionens mål: Lektionssteg: 1. Organisatoriskt. Låt oss börja lektionen med orden från den franske författaren A. France: "Lärande kan vara roligt... För att smälta kunskap måste du ta till dig den med aptit." Låt oss följa detta råd, försök att vara uppmärksamma och ta till oss kunskap med stor lust, för... de kommer att vara användbara för oss i framtiden. 2. Uppdatering av elevernas kunskaper. 1.) Frontala muntliga arbeten av studenter. Mål: att upprepa det material som tas upp, vilket krävs när man lär sig nya saker: A) vanliga och oegentliga fraktioner; (Vi jobbar med filer. Eleverna har dem tillgängliga vid varje lektion. De skriver svar till dem med en tuschpenna och sedan raderas onödig information.) Uppgifter för muntligt arbete. 1. Namnge den extra fraktionen i kedjan: A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7. 2. Minska bråk till en ny nämnare 30: 1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10. Hitta den minsta gemensamma nämnaren för bråk: 1/5 och 2/7; 3/4 och 1/6; 2/9 och 1/2. 2.) Spelsituation. Killar, vår vän clownen (eleverna träffade honom i början av läsåret) bad mig hjälpa honom att lösa ett problem. Men jag tror att ni kan hjälpa vår vän utan mig. Och uppgiften är nästa. "Jämför bråk: a) 1/2 och 1/6; Killar, för att hjälpa clownen, vad ska vi lära oss? Syftet med lektionen, uppgifter (eleverna formulerar självständigt). Läraren hjälper dem genom att ställa frågor: a) vilka bråkpar kan vi redan jämföra? b) vilket verktyg behöver vi för att jämföra bråk? 3. Killar i grupper (i permanenta flernivågrupper). Varje grupp får en uppgift och instruktioner för att slutföra den. Första gruppen :
Jämför blandade fraktioner: a) 1 1/2 och 2 5/6; och härleda en regel för att utjämna blandade bråk med samma och med olika heltalsdelar. Instruktioner: Jämföra blandade fraktioner (med hjälp av talstråle) Andra gruppen: Jämför bråk med olika nämnare och olika täljare. (använd nummerstråle) a) 6/7 och 9/14; Instruktioner Tredje gruppen: Jämförelse av fraktioner med en. a) 2/3 och 1; Instruktioner Tänk på alla fall: (använd nummerstråle) a) Om täljaren för ett bråk är lika med nämnaren, ………; Formulera en regel. Fjärde gruppen: Jämför bråk: a) 5/8 och 3/8; Instruktioner Använd nummerstrålen. Jämför täljarna och dra en slutsats, börja med orden: "Av två bråk med samma nämnare .....". Femte gruppen: Jämför bråk: a) 1/6 och 1/3; 0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__ Formulera en regel för att jämföra bråk med samma täljare. Instruktioner Jämför nämnare och dra en slutsats, börja med orden: "Av två bråk med samma täljare……….". Sjätte gruppen: Jämför bråk: a) 4/3 och 5/6; b) 7/2 och 1/2 med nummerstråle 0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__ Formulera en regel för att jämföra korrekta och oegentliga bråk. Instruktioner. Fundera på vilken bråkdel som alltid är större, korrekt eller felaktig. 4. Diskussion av slutsatserna i grupp. Ett ord för varje grupp. Formulering av elevernas regler och jämförelse av dem med standarderna för motsvarande regler. Därefter ges utskrifter av reglerna för att jämföra olika typer av vanliga bråk till varje elev. 5. Låt oss återgå till uppgiften i början av lektionen. (Vi löser clownproblemet tillsammans). 6. Arbeta i anteckningsböcker. Med hjälp av reglerna för att jämföra bråk, jämför eleverna, under ledning av läraren, bråk: a) 8/13 och 8/25; (det går bra att bjuda in eleven till styrelsen). 7. Eleverna ombeds att göra ett test som jämför bråk med två alternativ. Alternativ 1. 1) jämför bråk: 1/8 och 1/12 a) 1/8 > 1/12; 2) Vilket är störst: 5/13 eller 7/13? a) 5/13; 3) Vilket är mindre: 2\3 eller 4/6? a) 2/3; 4) Vilken bråkdel är mindre än 1: 3/5; 17/9; 7/7? a) 3/5; 5) Vilken bråkdel är större än 1: ?; 7/8; 4/3? a) 1/2; 6) Jämför bråk: 2 1/5 och 1 7/9 a) 2 1/5<1 7/9; Alternativ 2. 1) jämför bråk: 3/5 och 3/10 a) 3/5 > 3/10; 2) Vilket är störst: 10/12 eller 1/12? a) lika; 3) Vilket är mindre: 3/5 eller 1/10? a) 3/5; 4) Vilken bråkdel är mindre än 1: 4/3;1/15;16/16? a) 4/3; 5) Vilken bråkdel är större än 1: 2/5;9/8;11/12? a) 2/5; 6) Jämför bråk: 3 1/4 och 3 2/3 a) 3 1/4=3 2/3; Svar på testet: Alternativ 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a Alternativ 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c 8. Än en gång återgår vi till syftet med lektionen. Vi kontrollerar jämförelsereglerna och ger differentierade läxor: Grupperna 1,2,3 – kom på två jämförelseexempel för varje regel och lös dem. 4,5,6 grupper - nr 83 a, b, c, nr 84 a, b, c (från läroboken). Reglerna för att jämföra vanliga bråk beror på typen av bråk (egen, oegentlig, blandad bråk) och på nämnare (samma eller olika) av bråken som jämförs. Det här avsnittet diskuterar alternativ för att jämföra bråk som har samma täljare eller nämnare. Regel. För att jämföra två bråk med samma nämnare måste du jämföra deras täljare. Större (mindre) är ett bråk vars täljare är större (mindre). Jämför till exempel bråk: Regel. För att jämföra korrekta bråk med liknande täljare måste du jämföra deras nämnare. Större (mindre) är ett bråk vars nämnare är mindre (större). Jämför till exempel bråk: Regel. Oegentliga och blandade fraktioner är alltid större än någon egen fraktion. En egen fraktion är per definition mindre än 1, så oegentliga och blandade fraktioner (de som innehåller ett tal lika med eller större än 1) är större än en egen fraktion. Regel. Av två blandade fraktioner är den vars hela del av fraktionen är större (mindre) större (mindre). När hela delarna av blandade fraktioner är lika, är fraktionen med den större (mindre) fraktionsdelen större (mindre). Jämför två bråk- betyder att bestämma vilken bråkdel som är större, vilken som är mindre, eller att fastställa att bråken är lika. Av två bråk med samma nämnare är bråket med den större täljaren större. Exempel. En fraktion är större än en fraktion eftersom delarna i båda fraktionerna är lika, men det finns fler av dem i den första fraktionen än i den andra. Om vi avbildar en enhet som ett segment och delar upp den i 8 delar, är det lätt att se att bråkdelen är större: Av två bråk med samma täljare är bråket med den mindre nämnaren större. Exempel. En bråkdel är större än en bråkdel eftersom antalet delar i båda bråken är detsamma, men i den första bråkdelen är delarna större än i den andra. Låt oss skildra två enheter i form av cirklar, dela en i 4 delar, den andra i 6 delar. Nu kan du se att bråkdelen är större: För att jämföra bråk som har olika täljare och nämnare måste du reducera dem till en gemensam nämnare. Därefter jämförs de enligt regeln för att jämföra bråk som har samma nämnare. Exempel. Jämför bråken: och . Lösning: Nu jämför vi dem enligt regeln för att jämföra bråk som har samma nämnare. Sedan betyder det. Låt oss ge ett annat sätt att jämföra bråk med olika nämnare och täljare. Låt oss först titta på ett numeriskt exempel. Exempel. Låt oss jämföra bråk och . Lösning: Vi tar dessa bråk till en gemensam nämnare: När du löser det här exemplet kan du lägga märke till att efter att ha reducerat bråken till en gemensam nämnare reducerades jämförelseproblemet faktiskt till att jämföra produkterna 2 7 och 4 3. Eftersom 2 7 = 14, och 4 3 = 12, då 2 7 > 4 · 3. Så, . Låt oss nu lösa samma problem allmän syn, med hjälp av alfabetisk notation. Exempel. Låt de givna bråken och , där a Och c- noll eller naturliga tal, b Och d- heltal. Låt oss ta bråken till en gemensam nämnare: Därav: Således fick vi följande regel för att jämföra vanliga bråk: För att jämföra två vanliga bråk, kan du multiplicera täljaren för ett bråk med nämnaren för det andra och jämföra de resulterande produkterna. Denna regel kallas korsregel för att jämföra bråk. Varje egen bråkdel är mindre än ett naturligt tal. Exempel. Att jämföra ett oegentligt bråk med ett naturligt tal handlar om att jämföra två bråk. För att jämföra ett oegentligt bråk med ett naturligt tal, måste du representera det naturliga talet som ett oegentligt bråk med nämnaren 1, sedan kan de jämföras på ett av två sätt: med hjälp av korsregeln, eller reducera bråken till en gemensam nämnare. Därefter jämförs de enligt regeln för att jämföra bråk som har samma nämnare. Låt oss fortsätta att studera bråk. Idag kommer vi att prata om deras jämförelse. Ämnet är intressant och användbart. Det kommer att tillåta en nybörjare att känna sig som en vetenskapsman i en vit rock. Kärnan i att jämföra bråk är att ta reda på vilken av två bråk som är större eller mindre. För att svara på frågan vilket av två bråk som är större eller mindre, använd till exempel mer (>) eller mindre (<). Matematiker har redan tagit hand om färdiga regler som gör att de omedelbart kan svara på frågan om vilken bråkdel som är större och vilken som är mindre. Dessa regler kan tillämpas på ett säkert sätt. Vi kommer att titta på alla dessa regler och försöka ta reda på varför detta händer. Bråken som behöver jämföras är olika. Det bästa fallet är när bråken har samma nämnare, men olika täljare. I detta fall gäller följande regel: Av två bråk med samma nämnare är bråket med den större täljaren större. Och följaktligen blir bråkdelen med den mindre täljaren mindre. Låt oss till exempel jämföra bråk och svara på vilket av dessa bråk som är större. Här är nämnarna desamma, men täljarna är olika. Bråket har en större täljare än bråket. Detta betyder att andelen är större än . Det är så vi svarar. Du måste svara med mer-ikonen (>) Detta exempel kan lätt förstås om vi minns om pizzor, som är uppdelade i fyra delar. Det finns fler pizzor än pizzor: Nästa fall vi kan komma in på är när täljarna för bråken är desamma, men nämnarna är olika. För sådana fall finns följande regel: Av två bråk med samma täljare är bråket med den mindre nämnaren större. Och följaktligen är bråket vars nämnare är större mindre. Låt oss till exempel jämföra bråken och . Dessa bråk har samma täljare. Ett bråk har en mindre nämnare än ett bråk. Det betyder att bråkdelen är större än bråkdelen. Så vi svarar: Detta exempel kan lätt förstås om vi minns om pizzor, som är uppdelade i tre och fyra delar. Det finns fler pizzor än pizzor: Alla kommer att hålla med om att den första pizzan är större än den andra. Det händer ofta att man måste jämföra bråk med olika täljare och olika nämnare. Jämför till exempel bråk och . För att svara på frågan vilken av dessa bråk som är större eller mindre, måste du föra dem till samma (gemensamma) nämnare. Då kan du enkelt avgöra vilken bråkdel som är större eller mindre. Låt oss föra bråken till samma (gemensamma) nämnare. Låt oss hitta LCM för nämnarna för båda bråken. LCM för bråkens nämnare och detta är talet 6. Nu hittar vi ytterligare faktorer för varje bråkdel. Låt oss dividera LCM med nämnaren för det första bråket. LCM är talet 6, och nämnaren för det första bråket är talet 2. Dividera 6 med 2, vi får ytterligare en faktor 3. Vi skriver det ovanför det första bråket: Låt oss nu hitta den andra ytterligare faktorn. Låt oss dividera LCM med nämnaren för det andra bråket. LCM är talet 6, och nämnaren för det andra bråket är talet 3. Dividera 6 med 3, vi får ytterligare en faktor på 2. Vi skriver det ovanför det andra bråket: Låt oss multiplicera bråken med deras ytterligare faktorer: Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma nämnare. Och vi vet redan hur man jämför sådana fraktioner. Av två bråk med samma nämnare är bråket med den större täljaren större: Regeln är regeln, och vi ska försöka ta reda på varför det är mer än . För att göra detta, välj hela delen i bråket. Det finns ingen anledning att markera något i bråket, eftersom bråket redan är korrekt. Efter att ha isolerat heltalsdelen i fraktionen får vi följande uttryck: Nu kan du lätt förstå varför mer än . Låt oss rita dessa fraktioner som pizzor: 2 hela pizzor och pizzor, mer än pizzor. När du subtraherar blandade tal kan du ibland upptäcka att saker och ting inte går så smidigt som du skulle vilja. Det händer ofta att när man löser ett exempel är svaret inte vad det borde vara. När du subtraherar tal måste minuend vara större än subtrahend. Endast i detta fall kommer ett normalt svar att erhållas. Till exempel, 10−8=2 10 - dekrementerbar 8 - subtrahend 2 - skillnad Minuend 10 är större än subtrahend 8, så vi får det normala svaret 2. Låt oss nu se vad som händer om minuend är mindre än subtrahend. Exempel 5−7=−2 5—minskbar 7 - subtrahend −2 — skillnad I det här fallet går vi bortom gränserna för de siffror vi är vana vid och befinner oss i en värld av negativa siffror, där det är för tidigt för oss att gå, och till och med farligt. För att arbeta med negativa tal behöver vi lämplig matematisk utbildning, vilket vi ännu inte har fått. Om du, när du löser subtraktionsexempel, upptäcker att minuend är mindre än subtrahend, kan du hoppa över ett sådant exempel tills vidare. Det är tillåtet att arbeta med negativa tal först efter att ha studerat dem. Situationen är densamma med bråk. Minuend måste vara större än subtrahend. Endast i detta fall kommer det att vara möjligt att få ett normalt svar. Och för att förstå om bråket som reduceras är större än bråket som subtraheras, måste du kunna jämföra dessa bråk. Låt oss till exempel lösa exemplet. Detta är ett exempel på subtraktion. För att lösa det måste du kontrollera om bråket som reduceras är större än bråket som subtraheras. mer än så vi kan säkert återgå till exemplet och lösa det: Låt oss nu lösa det här exemplet Vi kontrollerar om bråket som reduceras är större än bråket som subtraheras. Vi finner att det är mindre: I det här fallet är det klokare att sluta och inte fortsätta med ytterligare beräkningar. Låt oss återgå till detta exempel när vi studerar negativa tal. Det är också lämpligt att kontrollera blandade tal före subtraktion. Låt oss till exempel hitta värdet på uttrycket . Låt oss först kontrollera om det blandade talet som reduceras är större än det blandade talet som subtraheras. För att göra detta konverterar vi blandade tal till oegentliga bråk: Vi fick bråk med olika täljare och olika nämnare. För att jämföra sådana bråk måste du föra dem till samma (gemensamma) nämnare. Vi kommer inte att beskriva i detalj hur man gör detta. Om du har svårt, se till att upprepa. Efter att ha reducerat bråken till samma nämnare får vi följande uttryck: Nu måste du jämföra bråken och . Dessa är bråk med samma nämnare. Av två bråk med samma nämnare är bråket med den större täljaren större. Bråket har en större täljare än bråket. Det betyder att bråkdelen är större än bråkdelen. Detta betyder att minuend är större än subtrahend Det betyder att vi kan återgå till vårt exempel och säkert lösa det: Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck Låt oss kontrollera om minuend är större än subtrahend. Låt oss konvertera blandade tal till oegentliga bråk: Vi fick bråk med olika täljare och olika nämnare. Låt oss reducera dessa bråk till samma (gemensamma) nämnare: Låt oss nu jämföra bråken och . Ett bråk har en täljare mindre än ett bråk, vilket betyder att bråket är mindre än ett bråkJämföra bråk med samma täljare
B) föra bråk till en ny nämnare;
C) hitta den minsta gemensamma nämnaren;
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
b) 3/5 och 1/3;
c) 5/6 och 1/6;
d) 12/7 och 4/7;
e) 3 1/7 och 3 1/5;
e) 7 5/6 och 3 1/2;
g) 1/10 och 1;
h) 10/3 och 1;
i) 7/7 och 1.”
b) 3 1/2 och 3 4/5
b) 5/11 och 1/22
b) 8/7 och 1;
c) 10/10 och 1 och formulera en regel.
b) Om täljaren för ett bråk är mindre än nämnaren,………;
c) Om täljaren för ett bråk är större än nämnaren,………. .
b) 1/7 och 4/7 och formulera en regel för att jämföra bråk med samma nämnare.
b) 4/9 och 4/3, med hjälp av nummerstrålen:
b)11/42 och 3/42;
c)7/5 och 1/5;
d) 18/21 och 7/3;
e) 2 1/2 och 3 1/5;
e) 5 1/2 och 5 4/3;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12
b) 7/13;
c) lika
b) 4/6;
c) lika
b) 17/9;
c) 7/7
b) 7/8;
c) 4/3
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10
b) 10/12;
c) 1/12
b) 1/10;
c) lika
b) 1/15;
c) 16/16
b) 9/8;
c) 11/12
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3
Jämföra korrekta, oegentliga och blandade fraktioner med varandra
Jämföra bråk med samma nämnare
Jämföra bråk med samma täljare
Jämföra bråk med olika nämnare och täljare
Att jämföra ett bråk med ett naturligt tal
Jämföra bråk med samma nämnare
Jämföra bråk med samma täljare
Jämföra bråk med olika täljare och olika nämnare
Subtraktion av blandade tal. Svåra fall.
