Jämförelse av bråk: regler, exempel, lösningar. Nummerjämförelse

Vid lösning av ekvationer och ojämlikheter, samt problem med moduler, krävs det att de hittade rötterna lokaliseras på den verkliga linjen.

Som du vet kan de hittade rötterna vara olika. De kan vara så här:, eller så kan de vara så här:,.

Följaktligen, om talen inte är rationella utan irrationella (om du har glömt vad det är, titta i ämnet), eller är komplexa matematiska uttryck, är det mycket problematiskt att placera dem på tallinjen.

Dessutom kan miniräknare inte användas i provet, och en ungefärlig beräkning ger inte 100% garantier för att ett tal är mindre än ett annat (tänk om det finns en skillnad mellan de jämförda siffrorna?).

Naturligtvis vet du att positiva tal alltid är större än negativa, och att om vi representerar en talaxel, då när vi jämför, största antal kommer att placeras till höger än den minsta: ; ; etc.

Men är det alltid så lätt?

Var på talraden vi markerar .

Hur jämför man dem till exempel med en siffra? Det är där rubbet är...)

I den här artikeln hittar vi en titt på alla sätt att jämföra siffror så att detta inte är ett problem för dig på provet!

Till att börja med, låt oss prata i allmänna termer om hur och vad vi ska jämföra.

Viktigt: det är önskvärt att göra transformationer på ett sådant sätt att ojämlikhetstecknet inte ändras! Det vill säga, under loppet av transformationer är det oönskat att multiplicera med ett negativt tal, och det är förbjudet kvadrat om en av delarna är negativ.

Bråkjämförelse

Så vi måste jämföra två bråk: och.

Det finns flera alternativ för hur man gör detta.

Alternativ 1. Ta bråk till en gemensam nämnare.

Låt oss skriva det som ett vanligt bråk:

- (som ni ser reducerade jag också med täljaren och nämnaren).

Nu måste vi jämföra bråk:

Nu kan vi fortsätta att jämföra också på två sätt. Vi kan:

reducera bara allt till en gemensam nämnare och presentera båda bråken som oegentliga (täljaren är större än nämnaren):
Vilket nummer är störst? Det stämmer, den vars täljare är större, alltså den första.
"kassera" (anta att vi har subtraherat en från varje bråk, och förhållandet mellan bråk och varandra har inte ändrats) och vi kommer att jämföra bråken:
Vi för dem också till en gemensam nämnare:
Vi fick exakt samma resultat som i föregående fall - den första siffran är större än den andra:
Låt oss också kontrollera om vi har subtraherat en korrekt? Låt oss beräkna skillnaden i täljaren i den första beräkningen och den andra:
1)
2)

Så vi tittade på hur man jämför bråk, för att få dem till en gemensam nämnare. Låt oss gå vidare till en annan metod - att jämföra bråk genom att föra dem till en gemensam ... täljare.

Alternativ 2. Jämföra bråk med hjälp av reduktion till en gemensam täljare.

Jaja. Detta är inget stavfel. I skolan lärs den här metoden sällan ut till någon, men väldigt ofta är den väldigt bekväm. Så att du snabbt förstår dess väsen, kommer jag bara att ställa dig en fråga - "i vilka fall är värdet på fraktionen störst?" Naturligtvis kommer du att säga "när täljaren är så stor som möjligt och nämnaren är så liten som möjligt."

Till exempel kommer du definitivt att säga att Sant? Och om vi behöver jämföra sådana bråk: Jag tror att du också omedelbart kommer att sätta tecknet korrekt, eftersom de i det första fallet är uppdelade i delar och i det andra i hela, vilket betyder att i det andra fallet är bitarna mycket små, och följaktligen:. Som du kan se är nämnarna olika här, men täljarna är desamma. Men för att jämföra dessa två bråk behöver du inte hitta en gemensam nämnare. Fast ... hitta den och se om jämförelsetecknet fortfarande är fel?

Men skylten är densamma.

Låt oss återgå till vår ursprungliga uppgift - att jämföra och. Vi kommer att jämföra och Vi för dessa bråk inte till en gemensam nämnare, utan till en gemensam täljare. För detta är det enkelt täljare och nämnare multiplicera den första bråkdelen med. Vi får:

Och. Vilken bråkdel är större? Det stämmer, den första.

Alternativ 3. Jämföra bråk med hjälp av subtraktion.

Hur jämför man bråk med subtraktion? Ja, väldigt enkelt. Vi subtraherar en annan från en bråkdel. Om resultatet är positivt, är den första bråkdelen (reducerad) större än den andra (subtraherad), och om den är negativ, då vice versa.

I vårt fall, låt oss försöka subtrahera det första bråket från det andra: .

Som du redan förstått översätter vi också till en vanlig bråkdel och får samma resultat -. Vårt uttryck blir:

Vidare måste vi fortfarande ta till reduktion till en gemensam nämnare. Frågan är hur: på det första sättet, omvandla bråk till felaktiga, eller på det andra, som om du "tar bort" enheten? Förresten, denna handling har en helt matematisk motivering. Se:

Jag gillar det andra alternativet bättre, eftersom det blir många gånger lättare att multiplicera i täljaren när man reducerar till en gemensam nämnare.

Vi tar till en gemensam nämnare:

Huvudsaken här är att inte bli förvirrad över vilket nummer och var vi subtraherade från. Titta noga på lösningens förlopp och blanda inte ihop tecknen av misstag. Vi subtraherade det första från det andra talet och fick ett negativt svar, så? .. Det stämmer, det första talet är större än det andra.

Jag fattar? Prova att jämföra bråk:

Stopp stopp. Ha inte bråttom att ta till en gemensam nämnare eller subtrahera. Titta: det kan enkelt omvandlas till ett decimaltal. Hur mycket blir det? Höger. Vad blir mer till slut?

Detta är ett annat alternativ - att jämföra bråk genom att reducera till en decimal.

Alternativ 4. Jämföra bråk med division.

Jaja. Och så är det också möjligt. Logiken är enkel: när vi dividerar ett större tal med ett mindre får vi ett tal större än ett i svaret, och om vi dividerar ett mindre tal med ett större, så faller svaret på intervallet från till.

För att komma ihåg denna regel, ta för jämförelse två primtal, till exempel, och. Vet du vad som är mer? Låt oss nu dividera med. Vårt svar är. Följaktligen är teorin korrekt. Om vi dividerar med är det vi får mindre än ett, vilket i sin tur bekräftar vad som faktiskt är mindre.

Låt oss försöka tillämpa denna regel på vanliga bråk. Jämföra:

Dividera den första bråkdelen med den andra:

Låt oss korta av och till.

Resultatet är mindre, så utdelningen är mindre än divisorn, det vill säga:

Vi har analyserat alla möjliga alternativ för att jämföra bråk. Som du kan se finns det 5 av dem:

reducering till en gemensam nämnare;
reduktion till en gemensam täljare;
reduktion till formen av ett decimaltal;
subtraktion;
division.

Redo att träna? Jämför bråk på bästa sätt:

Låt oss jämföra svaren:

(- konvertera till decimal)
(dividera ett bråk med ett annat och reducera med täljaren och nämnaren)
(välj hela delen och jämför bråk enligt principen om samma täljare)
(dividera ett bråk med ett annat och reducera med täljaren och nämnaren).

2. Jämförelse av grader

Föreställ dig nu att vi behöver jämföra inte bara siffror, utan uttryck där det finns en grad ().

Naturligtvis kan du enkelt sätta en skylt:

När allt kommer omkring, om vi ersätter graden med multiplikation, får vi:

Från detta lilla och primitiva exempel följer regeln:

Försök nu att jämföra följande: . Du kan också enkelt sätta en skylt:

För om vi ersätter exponentiering med multiplikation...

I allmänhet förstår man allt, och det är inte alls svårt.

Svårigheter uppstår endast när graderna har olika grunder och indikatorer jämfört med dem. I det här fallet är det nödvändigt att försöka få till en gemensam grund. Till exempel:

Naturligtvis vet du att detta, följaktligen, uttrycket tar formen:

Låt oss öppna parenteserna och jämföra vad som händer:

Ett lite speciellt fall är när basen för graden () är mindre än en.

Om, då av två grader eller mer, den vars indikator är mindre.

Låt oss försöka bevisa denna regel. Låt vara.

Vi introducerar något naturligt tal som skillnaden mellan och.

Logiskt, eller hur?

Låt oss nu uppmärksamma tillståndet - .

Respektive: . Därav, .

Till exempel:

Som du förstår övervägde vi fallet när krafternas baser är lika. Låt oss nu se när basen är i intervallet från till, men exponenterna är lika. Allt är väldigt enkelt här.

Låt oss komma ihåg hur man jämför detta med ett exempel:

Naturligtvis räknade du snabbt ut:

Därför, när du stöter på liknande problem för jämförelse, tänk på några enkla liknande exempel som du snabbt kan beräkna, och baserat på detta exempel, sätt tecken i ett mer komplext.

När du utför transformationer, kom ihåg att om du multiplicerar, adderar, subtraherar eller dividerar, måste alla åtgärder utföras på både vänster och höger sida (om du multiplicerar med, måste du multiplicera båda).

Dessutom finns det tillfällen då det helt enkelt är olönsamt att göra några manipulationer. Du måste till exempel jämföra. I det här fallet är det inte så svårt att höja till en makt och ordna skylten utifrån detta:

Låt oss öva. Jämför grader:

Är du redo att jämföra svaren? Här är vad jag fick:

- samma som
- samma som
- samma som
- samma som

3. Jämförelse av tal med en rot

Låt oss börja med vad är rötter? Kommer du ihåg det här inlägget?

Roten till ett reellt tal är ett tal för vilket likhet gäller.

Rötter udda grad finns för negativa och positiva tal, och även rötter– Bara för positivt.

Rotens värde är ofta en oändlig decimal, vilket gör det svårt att exakt beräkna det, så det är viktigt att kunna jämföra rötter.

Om du har glömt vad det är och vad det äts med -. Om du kommer ihåg allt, låt oss lära oss att jämföra rötterna steg för steg.

Låt oss säga att vi måste jämföra:

För att jämföra dessa två rötter behöver du inte göra några beräkningar, bara analysera själva begreppet "rot". Förstår du vad jag pratar om? Ja, om detta: annars kan det skrivas som tredje potens av något tal, lika med rotuttrycket.

Vad mer? eller? Detta kan du förstås jämföra utan svårighet. Ju större tal vi höjer till en potens, desto större blir värdet.

Så. Låt oss ta regeln.

Om exponenterna för rötterna är desamma (i vårt fall är det detta), är det nödvändigt att jämföra rotuttrycken (och) - ju större rotnumret, desto större är rotens värde med lika indikatorer.

Svårt att komma ihåg? Ha då bara ett exempel i åtanke och. Det mer?

Exponenterna för rötterna är desamma, eftersom roten är kvadratisk. Rotuttrycket för ett tal () är större än ett annat (), vilket betyder att regeln verkligen är sann.

Men vad händer om de radikala uttrycken är desamma, men graderna av rötterna är olika? Till exempel: .

Det är också helt klart att när man extraherar en rot i högre grad kommer ett mindre antal att erhållas. Låt oss ta till exempel:

Ange värdet av den första roten som, och den andra - som, sedan:

Du kan lätt se att det borde finnas mer i dessa ekvationer, därför:

Om rotuttrycken är desamma(i vårat fall), och rötternas exponenter är olika(i vårt fall är detta och), då är det nödvändigt att jämföra exponenterna(Och) - ju större exponent, desto mindre är det givna uttrycket.

Försök att jämföra följande rötter:

Låt oss jämföra resultaten?

Vi har lyckats hantera detta :). En annan fråga uppstår: tänk om vi alla är olika? Och graden, och det radikala uttrycket? Allt är inte så svårt, vi behöver bara ... "bli av" med roten. Jaja. Släng det.)

Om vi har olika grader och radikala uttryck är det nödvändigt att hitta den minsta gemensamma multipeln (läs avsnittet om) för rotexponenterna och höja båda uttrycken till en potens lika med den minsta gemensamma multipeln.

Att vi alla är i ord och i ord. Här är ett exempel:

Vi tittar på indikatorerna för rötterna - och. Deras minsta gemensamma multipel är .
Låt oss lyfta båda uttrycken till en makt:
Låt oss omvandla uttrycket och utöka parenteserna (mer information i kapitlet):
Låt oss överväga vad vi har gjort och sätta ett tecken:

4. Jämförelse av logaritmer

Så sakta men säkert närmade vi oss frågan om hur man jämför logaritmer. Om du inte kommer ihåg vilken typ av djur detta är, råder jag dig att läsa teorin från avsnittet först. Läsa? Svara sedan på några viktiga frågor:

Vad är logaritmens argument och vad är dess bas?
Vad avgör om en funktion ökar eller minskar?

Om du kommer ihåg allt och lärde dig det väl - låt oss börja!

För att jämföra logaritmer med varandra behöver du bara känna till tre knep:

reduktion till samma bas;
gjuter till samma argument;
jämförelse med den tredje siffran.

Var först uppmärksam på basen för logaritmen. Du kommer ihåg att om den är mindre så minskar funktionen och om den är större så ökar den. Detta är vad våra bedömningar kommer att baseras på.

Överväg att jämföra logaritmer som redan har reducerats till samma bas eller argument.

Till att börja med, låt oss förenkla problemet: släpp in de jämförda logaritmerna lika grunder. Sedan:

Funktionen, när den ökar på intervallet från, betyder per definition då ("direkt jämförelse").
Exempel:- baserna är desamma, respektive, vi jämför argumenten: , därför:
Funktionen, at, minskar på intervallet från, vilket betyder, per definition, då ("omvänd jämförelse"). - baserna är desamma, respektive, vi jämför argumenten: logaritmernas tecken kommer dock att vara "omvänt", eftersom funktionen minskar: .

Tänk nu på de fall där grunderna är olika, men argumenten är desamma.

Basen är större.
- . I det här fallet använder vi "omvänd jämförelse". Till exempel: - argumenten är desamma, och. Vi jämför baserna: logaritmernas tecken kommer dock att vara "omvänt":
Bas a är mittemellan.
- . I det här fallet använder vi "direkt jämförelse". Till exempel:
- . I det här fallet använder vi "omvänd jämförelse". Till exempel:

Låt oss skriva allt i en allmän tabellform:

, vart i	, vart i

Följaktligen, som du redan förstått, när vi jämför logaritmer, måste vi ta till samma bas, eller argument, Vi kommer till samma bas med hjälp av formeln för att flytta från en bas till en annan.

Du kan också jämföra logaritmer med ett tredje tal och utifrån detta sluta sig till vad som är mindre och vad som är mer. Tänk till exempel på hur man jämför dessa två logaritmer?

En liten ledtråd - för jämförelse kommer logaritmen att hjälpa dig mycket, vars argument kommer att vara lika.

Trodde? Låt oss bestämma tillsammans.

Vi kan enkelt jämföra dessa två logaritmer med dig:

Vet du inte hur? Se ovan. Vi plockade bara isär den. Vilken skylt kommer att finnas där? Höger:

Hålla med?

Låt oss jämföra med varandra:

Du bör få följande:

Kombinera nu alla våra slutsatser till en. Hände?

5. Jämförelse av trigonometriska uttryck.

Vad är sinus, cosinus, tangent, cotangens? Vad är enhetscirkeln för och hur hittar man värdet av trigonometriska funktioner på den? Om du inte kan svaren på dessa frågor rekommenderar jag starkt att du läser teorin om detta ämne. Och om du vet, då är det inte svårt för dig att jämföra trigonometriska uttryck med varandra!

Låt oss fräscha upp minnet lite. Låt oss rita en trigonometrisk enhetscirkel och en triangel inskriven i den. Klarade du dig? Markera nu på vilken sida vi har cosinus, och på vilken sinus, med hjälp av triangelns sidor. (Självklart kommer du ihåg att sinus är förhållandet mellan motsatt sida och hypotenusan, och cosinus för den intilliggande?). Ritade du? Bra! Sista handen - lägg ner var vi ska ha det, var och så vidare. Lägg ner? Puh) Jämför vad som hände med mig och dig.

Puh! Nu börjar vi jämförelsen!

Anta att vi behöver jämföra och . Rita dessa vinklar med hjälp av tipsen i rutorna (där vi har markerat var), och lägg ut punkterna på enhetscirkeln. Klarade du dig? Här är vad jag fick.

Låt oss nu sänka vinkelrät från punkterna vi markerade på cirkeln till axeln ... Vilken? Vilken axel visar värdet på sinusen? Höger, . Här är vad du bör skaffa:

Om man tittar på den här siffran, vilken är större: eller? Naturligtvis, eftersom poängen är över punkten.

På samma sätt jämför vi värdet av cosinus. Vi sänker bara vinkelrät på axeln ... Höger, . Följaktligen tittar vi på vilken punkt som är till höger (nåja, eller högre, som i fallet med sinus), då är värdet större.

Du vet förmodligen redan hur man jämför tangenter, eller hur? Allt du behöver veta är vad som är tangent. Så vad är tangent?) Det stämmer, förhållandet mellan sinus och cosinus.

För att jämföra tangenterna ritar vi också en vinkel, som i föregående fall. Låt oss säga att vi måste jämföra:

Ritade du? Nu markerar vi även värdena för sinus på koordinataxeln. Noterat? Och ange nu värdena för cosinus på koordinatlinjen. Hände? Låt oss jämföra:

Analysera nu vad du har skrivit. – vi delar upp ett stort segment i ett litet. Svaret blir ett värde som är exakt större än ett. Höger?

Och när vi delar den lilla med den stora. Svaret blir ett tal som är exakt mindre än ett.

Så värdet av vilket trigonometriskt uttryck är störst?

Höger:

Som du nu förstår är jämförelsen av cotangenter densamma, bara omvänt: vi tittar på hur segmenten som definierar cosinus och sinus relaterar till varandra.

Försök själv jämföra följande trigonometriska uttryck:

Exempel.

Svar.

JÄMFÖRELSE AV TAL. GENOMSNITTLIG NIVÅ.

Vilket av siffrorna är störst: eller? Svaret är uppenbart. Och nu: eller? Inte så självklart längre, eller hur? Och så: eller?

Ofta behöver du veta vilket av de numeriska uttrycken som är störst. Till exempel, när du löser en ojämlikhet, sätt punkter på axeln i rätt ordning.

Nu ska jag lära dig att jämföra sådana siffror.

Om du behöver jämföra siffror och sätta ett tecken mellan dem (härlett från det latinska ordet Versus eller förkortat vs - mot):. Detta tecken ersätter det okända olikhetstecknet (). Vidare kommer vi att utföra identiska transformationer tills det blir klart vilket tecken som ska sättas mellan siffrorna.

Kärnan i att jämföra siffror är som följer: vi behandlar tecknet som om det vore något slags ojämlikhetstecken. Och med uttrycket kan vi göra allt vi vanligtvis gör med ojämlikheter:

lägg till valfritt tal till båda delarna (och subtrahera, naturligtvis, vi kan också)
"flytta allt i en riktning", det vill säga subtrahera ett av de jämförda uttrycken från båda delarna. I stället för det subtraherade uttrycket kommer att förbli: .
multiplicera eller dividera med samma tal. Om detta tal är negativt, är olikhetstecknet omvänt: .
Höj båda sidor till samma kraft. Om denna styrka är jämn måste du se till att båda delarna har samma tecken; om båda delarna är positiva ändras inte tecknet när det höjs till en potens, och om de är negativa ändras det till motsatsen.
ta roten av samma grad från båda delarna. Om vi extraherar roten till en jämn grad måste du först se till att båda uttrycken är icke-negativa.
andra likvärdiga omvandlingar.

Viktigt: det är önskvärt att göra transformationer på ett sådant sätt att ojämlikhetstecknet inte ändras! Det vill säga, under transformationer är det oönskat att multiplicera med ett negativt tal, och det är omöjligt att kvadrera om en av delarna är negativ.

Låt oss titta på några typiska situationer.

1. Exponentiering.

Exempel.

Vilket är mer: eller?

Lösning.

Eftersom båda sidor av ojämlikheten är positiva, kan vi kvadrat för att bli av med roten:

Exempel.

Vilket är mer: eller?

Lösning.

Även här kan vi kvadrat, men detta hjälper oss bara att bli av med kvadratroten. Här är det nödvändigt att höja till en sådan grad att båda rötterna försvinner. Det betyder att exponenten för denna grad måste vara delbar med både (graden för den första roten) och med. Det här numret är, så vi höjer det till e potens:

2. Multiplikation med konjugatet.

Exempel.

Vilket är mer: eller?

Lösning.

Multiplicera och dividera varje skillnad med den konjugerade summan:

Uppenbarligen är nämnaren på höger sida större än nämnaren till vänster. Därför är den högra bråkdelen mindre än den vänstra:

3. Subtraktion

Låt oss komma ihåg det.

Exempel.

Vilket är mer: eller?

Lösning.

Naturligtvis skulle vi kunna kvadrera allt, omgruppera, och igen ruta. Men du kan göra något smartare:

Det kan ses att varje term på vänster sida är mindre än varje term på höger sida.

Följaktligen är summan av alla termer på vänster sida mindre än summan av alla termer på höger sida.

Men var försiktig! Vi blev tillfrågade mer...

Den högra sidan är större.

Exempel.

Jämför siffror och.

Lösning.

Kom ihåg trigonometriformlerna:

Låt oss kontrollera i vilka fjärdedelar punkterna och ligga på den trigonometriska cirkeln.

4. Division.

Här använder vi också en enkel regel: .

Med eller, alltså.

När tecknet ändras: .

Exempel.

Gör en jämförelse: .

Lösning.

5. Jämför siffrorna med den tredje siffran

Om och, då (lag om transitivitet).

Exempel.

Jämföra.

Lösning.

Låt oss jämföra siffrorna inte med varandra, utan med siffrorna.

Det är uppenbart.

På andra sidan, .

Exempel.

Vilket är mer: eller?

Lösning.

Båda siffrorna är större men mindre. Välj ett tal så att det är större än det ena men mindre än det andra. Till exempel, . Låt oss kolla:

6. Vad ska man göra med logaritmer?

Inget speciellt. Hur man blir av med logaritmer beskrivs i detalj i ämnet. Grundreglerna är:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Vänsterhögerpil (\rm( ))\vänster[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kil y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Vi kan också lägga till en regel om logaritmer med olika baser och samma argument:

Det kan förklaras på följande sätt: ju större basen är, desto mindre kommer den att behöva höjas för att få samma. Om basen är mindre är det motsatta, eftersom motsvarande funktion är monotont avtagande.

Exempel.

Jämför siffror: i.

Lösning.

Enligt ovanstående regler:

Och nu den avancerade formeln.

Regeln för att jämföra logaritmer kan också skrivas kortare:

Exempel.

Vilket är mer: eller?

Lösning.

Exempel.

Jämför vilket av siffrorna som är störst: .

Lösning.

JÄMFÖRELSE AV TAL. KORT OM HUVUDSAKTEN

1. Exponentiering

Om båda sidorna av ojämlikheten är positiva kan de kvadreras för att bli av med roten

2. Multiplikation med konjugatet

Ett konjugat är en multiplikator som kompletterar uttrycket till formeln för skillnaden mellan kvadrater: - konjugera för och vice versa, eftersom .

3. Subtraktion

4. Division

Vid eller det vill säga

När tecknet ändras:

5. Jämförelse med den tredje siffran

Om och då

6. Jämförelse av logaritmer

Grundläggande regler:

Logaritmer med olika baser och samma argument:

DE ÅTERSTÅENDE 2/3 ARTIKLAR ÄR ENDAST TILLGÄNGLIGA FÖR DINA STUDENTER!

Bli student hos YouClever,

Förbered dig för OGE eller USE i matematik till priset av "en kopp kaffe per månad",

Och få även obegränsad tillgång till läroboken "YouClever", träningsprogrammet "100gia" (lösningsbok), obegränsad provanvändning och OGE, 6000 uppgifter med analys av lösningar och andra YouClever- och 100gia-tjänster.

Reglerna för att jämföra vanliga fraktioner beror på typen av fraktion (egen, oegentlig, blandad fraktion) och på den signifikanta (samma eller olika) av de jämförda fraktionerna.

Det här avsnittet diskuterar alternativ för att jämföra bråk som har samma täljare eller nämnare.

Regel. Att jämföra två bråk med samma nämnare, är det nödvändigt att jämföra deras täljare. Mer (mindre) är bråket vars täljare är större (mindre).

Jämför till exempel bråk:

Regel. För att jämföra egentliga bråk med samma täljare måste du jämföra deras nämnare. Mer (mindre) är bråket vars nämnare är mindre (större).

Jämför till exempel bråk:

Jämförelse av korrekta, oegentliga och blandade fraktioner med varandra

Regel. Oegentliga och blandade fraktioner är alltid större än någon egen fraktion.

En egen fraktion är per definition mindre än 1, så oegentliga och blandade fraktioner (som har ett tal lika med eller större än 1) är större än en egen fraktion.

Regel. Av två blandade fraktioner är den större (mindre) den där den heltalsdelen av fraktionen är större (mindre). När heltalsdelarna av blandade fraktioner är lika, är fraktionen med den större (mindre) bråkdelen större (mindre).

Inte bara primtal kan jämföras, utan även bråk. Ett bråk är trots allt samma tal som till exempel naturliga tal. Du behöver bara känna till reglerna för vilka bråk jämförs.

Jämföra bråk med samma nämnare.

Om två bråk har samma nämnare är det lätt att jämföra sådana bråk.

För att jämföra bråk med samma nämnare måste du jämföra deras täljare. Den större bråkdelen har den större täljaren.

Tänk på ett exempel:

Jämför bråken \(\frac(7)(26)\) och \(\frac(13)(26)\).

Båda bråkens nämnare är lika, lika med 26, så vi jämför täljarna. Siffran 13 är större än 7. Vi får:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Jämförelse av bråk med lika täljare.

Om ett bråk har samma täljare, är det större bråket det med den mindre nämnaren.

Du kan förstå denna regel om du ger ett exempel från livet. Vi har tårta. 5 eller 11 gäster kan komma och besöka oss. Om det kommer 5 gäster så skär vi kakan i 5 lika stora bitar och om det kommer 11 gäster delar vi upp den i 11 lika stora bitar. Tänk nu på i vilket fall en gäst kommer att ha en större kaka? Självklart, när det kommer 5 gäster blir tårtbiten större.

Eller ett annat exempel. Vi har 20 godisar. Vi kan fördela godis jämnt till 4 vänner eller jämnt fördela godis mellan 10 vänner. I vilket fall kommer varje vän att ha mer godis? Naturligtvis, när vi bara delar med 4 vänner, kommer antalet godisar varje vän att ha fler. Låt oss kontrollera detta problem matematiskt.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Om vi löser dessa bråk upp till får vi talen \(\frac(20)(4) = 5\) och \(\frac(20)(10) = 2\). Vi får 5 > 2

Detta är regeln för att jämföra bråk med samma täljare.

Låt oss överväga ett annat exempel.

Jämför bråk med samma täljare \(\frac(1)(17)\) och \(\frac(1)(15)\) .

Eftersom täljarna är desamma, desto större är bråkdelen där nämnaren är mindre.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Jämförelse av bråk med olika nämnare och täljare.

För att jämföra bråk med olika nämnare måste du minska bråken till och sedan jämföra täljarna.

Jämför bråken \(\frac(2)(3)\) och \(\frac(5)(7)\).

Hitta först den gemensamma nämnaren för bråken. Det kommer att vara lika med siffran 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

Sedan går vi vidare till att jämföra täljare. Regel för att jämföra bråk med samma nämnare.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Jämförelse.

En oegentlig bråkdel är alltid större än en riktig. Eftersom en oegentlig bråkdel är större än 1 och en riktig bråkdel är mindre än 1.

Exempel:
Jämför bråken \(\frac(11)(13)\) och \(\frac(8)(7)\).

Bråket \(\frac(8)(7)\) är inte korrekt och är större än 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Bråket \(\frac(11)(13)\) är korrekt och mindre än 1. Jämför:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Vi får, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Relaterade frågor:
Hur jämför man bråk med olika nämnare?
Svar: det är nödvändigt att föra bråken till en gemensam nämnare och sedan jämföra deras täljare.

Hur jämför man bråk?
Svar: först måste du bestämma vilken kategori bråken tillhör: de har en gemensam nämnare, de har en gemensam täljare, de har ingen gemensam nämnare och täljare, eller så har du ett eget och oegentligt bråk. Efter att ha klassificerat bråk, tillämpa lämplig jämförelseregel.

Vad är jämförelsen av bråk med samma täljare?
Svar: Om bråk har samma täljare, är det större bråket det med den mindre nämnaren.

Exempel #1:
Jämför bråken \(\frac(11)(12)\) och \(\frac(13)(16)\).

Lösning:
Eftersom det inte finns några identiska täljare eller nämnare tillämpar vi jämförelseregeln med olika nämnare. Vi måste hitta en gemensam nämnare. Den gemensamma nämnaren blir lika med 96. Låt oss ta bråken till en gemensam nämnare. Multiplicera det första bråket \(\frac(11)(12)\) med ytterligare en faktor 8, och multiplicera det andra bråket \(\frac(13)(16)\) med 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

Vi jämför bråk med täljare, det bråket är större där täljaren är större.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \ \end(align)\)

Exempel #2:
Jämföra en egen bråkdel med en enhet?

Lösning:
Varje egen bråkdel är alltid mindre än 1.

Uppgift 1:
Far och son spelade fotboll. Sonen på 10 inflygningar träffade grinden 5 gånger. Och pappa slog in porten 3 gånger av 5 inflygningar. Vems resultat är bättre?

Lösning:
Sonen slog av 10 möjliga tillvägagångssätt 5 gånger. Vi skriver som en bråkdel \(\frac(5)(10) \).
Pappa slog av 5 möjliga tillvägagångssätt 3 gånger. Vi skriver som bråk \(\frac(3)(5) \).

Jämför bråk. Vi har olika täljare och nämnare, låt oss ta det till samma nämnare. Den gemensamma nämnaren blir 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Svar: Pappas resultat är bättre.

Lektionens mål:

Handledningar: lära sig att jämföra bråk olika sorter använda olika metoder;
Utvecklande: utveckling av grundläggande metoder för mental aktivitet, generaliseringar av jämförelse, belysa det viktigaste; utveckling av minne, tal.
Pedagogisk: lära sig att lyssna på varandra, främja ömsesidig hjälp, en kultur av kommunikation och beteende.

Lektionssteg:

1. Organisatoriskt.

Låt oss börja lektionen med den franske författaren A. Frances ord: "Lärande kan vara roligt .... För att smälta kunskap måste du ta till dig den med aptit."

Låt oss följa detta råd, försök att vara uppmärksamma, låt oss absorbera kunskap med stor lust, eftersom. de kommer att vara användbara för oss i framtiden.

2. Förverkligande av elevernas kunskaper.

1.) Frontala muntliga arbeten av studenter.

Syfte: att upprepa det material som tas upp, vilket krävs när man lär sig ett nytt:

A) vanliga och oegentliga fraktioner;
B) föra bråk till en ny nämnare;
C) hitta den minsta gemensamma nämnaren;

(Filer arbetar med. Eleverna har dem tillgängliga vid varje lektion. Svar skrivs på dem med en markör och sedan raderas onödig information.)

Uppgifter för muntligt arbete.

1. Nämn en extra fraktion bland kedjan:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Ta bråk till en ny nämnare 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Hitta den minsta gemensamma nämnaren för bråk:

1/5 och 2/7; 3/4 och 1/6; 2/9 och 1/2.

2.) Spelsituation.

Killar, vår bekanta clown (eleverna träffade honom i början av läsåret) bad mig hjälpa honom att lösa problemet. Men jag tror att ni kan hjälpa vår vän utan mig. Och nästa uppgift.

"Jämför bråk:

a) 1/2 och 1/6;
b) 3/5 och 1/3;
c) 5/6 och 1/6;
d) 12/7 och 4/7;
e) 3 1/7 och 3 1/5;
f) 7 5/6 och 3 1/2;
g) 1/10 och 1;
h) 10/3 och 1;
i) 7/7 och 1.”

Killar, för att hjälpa clownen, vad ska vi lära oss?

Syftet med lektionen, uppgifter (eleverna formulerar självständigt).

Läraren hjälper dem genom att ställa frågor:

a) vilket av bråkparen kan vi redan jämföra?

b) vilket verktyg behöver vi för att jämföra bråk?

3. Killar i grupper (i permanent multilevel).

Varje grupp får en uppgift och instruktioner för dess genomförande.

Första gruppen : Jämför blandade fraktioner:

a) 1 1/2 och 2 5/6;
b) 3 1/2 och 3 4/5

och härleda en regel för att likställa blandade bråk med samma och olika heltalsdelar.

Instruktion: Jämföra blandade bråk (med en talstråle)

jämföra hela delar av bråk och dra en slutsats;
jämför bråkdelar (visa inte regeln för att jämföra bråkdelar);
gör en regel - algoritm:

Andra gruppen: Jämför bråk med olika nämnare och olika täljare. (använd nummerstråle)

a) 6/7 och 9/14;
b) 5/11 och 1/22

Instruktion

Jämför nämnare
Fundera på om det går att reducera bråk till en gemensam nämnare
Börja regeln med orden: "För att jämföra bråk med olika nämnare måste du ..."

Tredje gruppen: Jämförelse av fraktioner med en.

a) 2/3 och 1;
b) 8/7 och 1;
c) 10/10 och 1 och formulera en regel.

Instruktion

Tänk på alla fall: (använd nummerstråle)

a) Om täljaren för ett bråk är lika med nämnaren, ………;
b) Om täljaren för ett bråk är mindre än nämnaren,………;
c) Om täljaren för ett bråk är större än nämnaren,………. .

Formulera en regel.

Fjärde gruppen: Jämför bråk:

a) 5/8 och 3/8;
b) 1/7 och 4/7 och formulera en regel för att jämföra bråk med samma nämnare.

Instruktion

Använd nummerstrålen.

Jämför täljarna och dra en slutsats som börjar med orden: "Från två bråk med samma nämnare...".

Femte gruppen: Jämför bråk:

a) 1/6 och 1/3;
b) 4/9 och 4/3 med nummerraden:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Formulera en regel för att jämföra bråk med samma täljare.

Instruktion

Jämför nämnare och dra en slutsats, börja med orden:

“Från två bråk med samma täljare………..”.

Sjätte gruppen: Jämför bråk:

a) 4/3 och 5/6; b) 7/2 och 1/2 med tallinje

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Formulera en regel för att jämföra korrekta och oegentliga bråk.

Instruktion.

Fundera på vilken bråkdel som alltid är större, rätt eller fel.

4. Diskussion av slutsatserna i grupp.

Ord till varje grupp. Formulering av elevernas regler och deras jämförelse med standarderna för motsvarande regler. Därefter ges utskrifter av reglerna för att jämföra olika typer av vanliga bråk till varje elev.

5. Vi återgår till uppgiften i början av lektionen. (Vi löser clownproblemet tillsammans).

6. Arbeta i anteckningsböcker. Med hjälp av reglerna för att jämföra bråk, jämför eleverna, under ledning av en lärare, bråk:

a) 8/13 och 8/25;
b) 11/42 och 3/42;
c) 7/5 och 1/5;
d) 18/21 och 7/3;
e) 2 1/2 och 3 1/5;
f) 5 1/2 och 5 4/3;

(det går bra att bjuda in en elev till styrelsen).

7. Eleverna uppmanas att utföra ett test som jämför bråk för två alternativ.

1 alternativ.

1) jämför bråk: 1/8 och 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Vilket är större: 5/13 eller 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) är lika

3) Vilket är mindre: 2/3 eller 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) är lika

4) Vilken av fraktionerna är mindre än 1: 3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Vilken av fraktionerna är större än 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Jämför bråk: 2 1/5 och 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9

Alternativ 2.

1) jämför bråk: 3/5 och 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Vilket är större: 10/12 eller 1/12?

a) är lika;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Vilket är mindre: 3/5 eller 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) är lika

4) Vilken av bråken är mindre än 1: 4/3; 1/15; 16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Vilken av bråken är större än 1: 2/5; 9/8; 11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) Jämför bråk: 3 1/4 och 3 2/3

a) 3 1/4 = 3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Svar på testet:

Alternativ 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Alternativ 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Än en gång återgår vi till syftet med lektionen.

Vi kontrollerar jämförelsereglerna och ger en differentierad läxa:

1,2,3 grupper - kom på två exempel för varje regel och lös dem.

4,5,6 grupper - nr 83 a, b, c, nr 84 a, b, c (från läroboken).

I den här lektionen kommer vi att lära oss hur man jämför bråk med varandra. Detta är en mycket användbar färdighet som behövs för att lösa en hel klass av mer komplexa problem.

Låt mig först påminna dig om definitionen av bråklikhet:

Bråken a /b och c /d kallas lika om ad = bc.

5/8 = 15/24 eftersom 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18 eftersom 3 18 = 2 27 = 54.

I alla andra fall är bråken ojämna, och ett av följande påståenden är sant för dem:

Fraktionen a/b är större än bråkdelen c/d;
Fraktionen a/b är mindre än bråkdelen c/d.

Bråket a /b kallas större än bråket c /d om a /b − c /d > 0.

En bråkdel x /y kallas mindre än en bråkdel s /t om x /y − s /t< 0.

Beteckning:

Således reduceras jämförelsen av bråk till deras subtraktion. Fråga: hur man inte förväxlas med notationen "större än" (>) och "mindre än" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Den expanderande delen av checken är alltid riktad mot det större antalet;
Den vassa näsan på en kaja indikerar alltid en lägre siffra.

Ofta i uppgifter där man vill jämföra siffror sätter de tecknet "∨" mellan dem. Detta är en kaja med näsan nedåt, vilket liksom antyder: det största av siffrorna har ännu inte fastställts.

Uppgift. Jämför siffror:

Efter definitionen subtraherar vi bråken från varandra:

I varje jämförelse behövde vi föra bråk till en gemensam nämnare. I synnerhet genom att använda kors och tvärs-metoden och hitta den minsta gemensamma multipeln. Jag fokuserade medvetet inte på dessa punkter, men om något inte är klart, ta en titt på lektionen "Addition och subtraktion av bråk" - det är väldigt enkelt.

Decimaljämförelse

När det gäller decimalbråk är allt mycket enklare. Det finns ingen anledning att subtrahera något här - jämför bara siffrorna. Det kommer inte att vara överflödigt att komma ihåg vad en betydande del av ett nummer är. För dem som har glömt, föreslår jag att du upprepar lektionen " Multiplikation och division av decimalbråk" - det tar också bara ett par minuter.

En positiv decimal X är större än en positiv decimal Y om den har en decimal så att:

Siffran i denna siffra i bråket X är större än motsvarande siffra i bråket Y;

Alla siffror som är äldre än vad som anges i bråk X och Y är desamma.

12.25 > 12.16. De två första siffrorna är desamma (12 = 12), och den tredje är större (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Med andra ord, vi tittar sekventiellt på decimalerna och letar efter skillnaden. I det här fallet motsvarar ett större antal en större bråkdel.

Denna definition kräver dock ett förtydligande. Till exempel, hur man skriver och jämför siffror upp till decimalkomma? Kom ihåg: alla tal som skrivs i decimalform kan tilldelas valfritt antal nollor till vänster. Här är ytterligare ett par exempel:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, eftersom 0,0025 = 0000,0025 - lagt till tre nollor till vänster. Nu kan du se att skillnaden börjar i den första biten: 2 > 0.

Naturligtvis fanns det i de givna exemplen med nollor en explicit uppräkning, men innebörden är exakt denna: fyll i de saknade siffrorna till vänster och jämför sedan.

Uppgift. Jämför bråk:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Per definition har vi:

0,029 > 0,007. De två första siffrorna är desamma (00 = 00), sedan börjar skillnaden (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Här måste du noggrant räkna nollorna. De första 5 siffrorna i båda bråken är noll, men längre fram i den första bråkdelen är 3, och i den andra - 0. Uppenbarligen, 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Låt oss skriva om det andra bråket till 0000,99501, lägg till 3 nollor till vänster. Nu är allt uppenbart: 1 > 0 - skillnaden finns i den första siffran.

Tyvärr är ovanstående schema för att jämföra decimalbråk inte universellt. Denna metod kan bara jämföras positiva siffror. I det allmänna fallet är arbetsalgoritmen följande:

En positiv bråkdel är alltid större än en negativ;
Två positiva fraktioner jämförs enligt ovanstående algoritm;
Två negativa bråk jämförs på samma sätt, men i slutet är olikhetstecknet omvänt.

Tja, är det inte svagt? Låt oss nu titta på specifika exempel - och allt kommer att bli klart.

Uppgift. Jämför bråk:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Bråk är negativa, 2 siffror är olika. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Ett positivt tal är alltid större än ett negativt;
19,032 > 0,091. Det räcker med att skriva om den andra bråkdelen i form av 00.091 för att se att skillnaden uppstår redan i 1 siffra;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Skillnaden finns i den första kategorin.