Μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε κλάσματα. Μετατροπή κοινού κλάσματος σε δεκαδικό και αντίστροφα, κανόνες, παραδείγματα Μετατροπή από κοινό κλάσμα σε δεκαδικό

Εισαγάγετε κλάσμα:

Ας εξετάσουμε το πρόβλημα της μετατροπής ενός δεκαδικού κλάσματος σε συνηθισμένο κλάσμα με την απαιτούμενη ακρίβεια. Για παράδειγμα,
0,3333333 = 1/3

Υποτίθεται ότι το δεκαδικό κλάσμα που εισάγεται δεν έχει ακέραιο μέρος.
Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε δύο μεταβλητές, που αντιπροσωπεύουν τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.
Η εύρεση λύσης θα αποτελείται από δύο στάδια:

Αναζητήστε μια κατά προσέγγιση λύση
Καθαρισμός του διαλύματος μέχρι να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια

Στο πρώτο στάδιο, παίρνουμε τις αρχικές τιμές του αριθμητή και του παρονομαστή ίσες με 1. Σε κάθε βήμα, αυξάνουμε την τιμή του παρονομαστή κατά 1 και βρίσκουμε το κλάσμα
Αριθμητής παρονομαστής
Στην πρώτη επανάληψη, ο παρονομαστής είναι 1, και 1/1=1, και αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από το εισαγόμενο δεκαδικό κλάσμα. Αυξάνουμε τον παρονομαστή κατά 1 μέχρι να πάρουμε
Αριθμητής/Παρονομαστής - EnteredFraction< 0

Έτσι, βρήκαμε την πρώτη προσέγγιση. Γνωρίζουμε ότι το εισαγόμενο κλάσμα αντιστοιχεί σε ένα συνηθισμένο κλάσμα μεταξύ
Αριθμητής / (Παρονομαστής - 1)Και Αριθμητής παρονομαστής

Στο δεύτερο στάδιο, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της πρώτης προσέγγισης που προκύπτει με έναν παράγοντα που θα λάβει διαδοχικές τιμές 2, 3, 4, κ.λπ.
Και πάλι, αυξάνοντας τον παρονομαστή κατά 1, λαμβάνουμε την ακόλουθη προσέγγιση και αν μας ταιριάζει από άποψη ακρίβειας, τότε θα υποθέσουμε ότι βρέθηκε το απαιτούμενο συνηθισμένο κλάσμα.

Υλοποίηση σε C++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62

#περιλαμβάνω
χρησιμοποιώντας namespace std?
void func( κάνω ubleαριθμός, κάνω uble eps, int &ch, int &zn)
{
int a = 1; int b = 1;
int mn = 2; // πολλαπλασιαστής για αρχική προσέγγιση
int iter = 0;
ch = a; zn = b;
// Αναζήτηση αρχικής προσέγγισης
κάνω uble c = 1;
κάνω (
b++;
γ = ( κάνω uble)α/β;
) ενώ ((αριθμός - γ)< 0);
εάν ((αριθμός - γ)< eps)
{
ch = a; zn = b;
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ;
}
σι-;
γ = ( κάνω uble)α/β;
αν ((αριθμός - γ) > -eps)
{
ch = a; zn = b;
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ;
}
// Διευκρίνιση
ενώ (επ< 20000)
{
int cc = a*mn, zz = b*mn;
iter++;
κάνω (
zz++;
γ = ( κάνω uble)cc/zz;
) ενώ ((αριθμός - γ)< 0);
εάν ((αριθμός - γ)< eps)
{
ch = cc; zn = zz;
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ;
}
zz—;
γ = ( κάνω uble)cc/zz;
αν ((αριθμός - γ) > -eps)
{
ch = cc; zn = zz;
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ;
}
mn++;
}
}
int main()
{
κάνω uble inp;
int ch, zn;
κάνω uble eps = 0,0000001;
cout<< "num=" ;
cin >> inp;
func(inp, eps, ch, zn);
cout<< ch << " / " << zn << endl;
cin.get(); cin.get();
επιστροφή 1;
}

Αποτέλεσμα εκτέλεσης

Πολύ συχνά, η συνθήκη ενός προβλήματος απαιτεί να γράψουμε την απάντηση σε δεκαδικό κλάσμα, γιατί είναι πολύ πιο εύκολο να την αντιληφθούμε από ένα συνηθισμένο κλάσμα. Η μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό είναι πολύ εύκολη.

Πώς να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό

Για να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. a/b = a ÷ β

Παράδειγμα 1: Μετατροπή 1/10 σε δεκαδικό.

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω κανόνα, διαιρέστε το 1 με το 10:
1 ÷ 10 = 0,1

Παράδειγμα 2: Μετατροπή 2/16 σε δεκαδικό.

Πρώτα απ 'όλα, μειώνουμε 2 και 16, παίρνουμε 1/8.

Διαιρέστε το 1 με το 8: 1 ÷ 8 = 0,125

Πώς να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα

Υπάρχουν περιπτώσεις που διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή προκύπτει ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Για παράδειγμα, 1/15 = 1 ÷ 15 = 0,1333333333. Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις;

Παράδειγμα: Μετατροπή 5/18 σε δεκαδικό.

5/18 = 5 ÷ 18 = 0,277777777 = 0,27(7). Πήραμε άπειρα επτά. Οι παρενθέσεις σημαίνουν ότι ο αριθμός που εισάγεται σε αυτές επαναλαμβάνεται ατελείωτα.
Σε τέτοιες περιπτώσεις, θα πρέπει να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό που προκύπτει. Στρογγυλοποιήστε το 0,277777777 στα εκατοστά και λάβετε περίπου 0,28

Επειδή η διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή συχνά διαρκεί πολύ, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή.

Πώς να μετατρέψετε κλάσμα σε δεκαδικό online

Εάν δεν θέλετε να μετατρέψετε κλάσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική υπηρεσία. Απλώς εισάγετε τις τιμές αριθμητή και παρονομαστή και το μίνι πρόγραμμα θα σας δώσει την απάντηση. Το πρόγραμμα σας επιτρέπει επίσης να κάνετε το αντίθετο - να μετατρέψετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε κοινό κλάσμα.

Φαίνεται ότι η μετατροπή ενός δεκαδικού κλάσματος σε κανονικό κλάσμα είναι ένα στοιχειώδες θέμα, αλλά πολλοί μαθητές δεν το καταλαβαίνουν! Επομένως, σήμερα θα ρίξουμε μια λεπτομερή ματιά σε πολλούς αλγόριθμους ταυτόχρονα, με τη βοήθεια των οποίων θα καταλάβετε τυχόν κλάσματα σε μόλις ένα δευτερόλεπτο.

Να σας υπενθυμίσω ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο μορφές γραφής του ίδιου κλάσματος: κοινή και δεκαδική. Τα δεκαδικά κλάσματα είναι όλα τα είδη κατασκευών της μορφής 0,75. 1.33; και μάλιστα −7,41. Ακολουθούν παραδείγματα συνηθισμένων κλασμάτων που εκφράζουν τους ίδιους αριθμούς:

Τώρα ας το καταλάβουμε: πώς να μετακινηθείτε από τον δεκαδικό στον κανονικό; Και το πιο σημαντικό: πώς να το κάνετε αυτό το συντομότερο δυνατό;

Βασικός αλγόριθμος

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν τουλάχιστον δύο αλγόριθμοι. Και θα τα δούμε και τα δύο τώρα. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο - το πιο απλό και κατανοητό.

Για να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κλάσμα, πρέπει να ακολουθήσετε τρία βήματα:

Μια σημαντική σημείωση για τους αρνητικούς αριθμούς. Εάν στο αρχικό παράδειγμα υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από το δεκαδικό κλάσμα, τότε στην έξοδο θα πρέπει επίσης να υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από το συνηθισμένο κλάσμα. Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα:

Παραδείγματα μετάβασης από δεκαδικό συμβολισμό κλασμάτων σε συνηθισμένους

Θα ήθελα να δώσω ιδιαίτερη προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα. Όπως μπορείτε να δείτε, το κλάσμα 0,0025 περιέχει πολλά μηδενικά μετά την υποδιαστολή. Εξαιτίας αυτού, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 10 έως και τέσσερις φορές Είναι δυνατόν να απλοποιήσετε με κάποιο τρόπο τον αλγόριθμο σε αυτήν την περίπτωση;

Φυσικά μπορείτε να. Και τώρα θα δούμε έναν εναλλακτικό αλγόριθμο - είναι λίγο πιο δύσκολο να τον κατανοήσουμε, αλλά μετά από λίγη εξάσκηση λειτουργεί πολύ πιο γρήγορα από τον τυπικό.

Πιο γρήγορος τρόπος

Αυτός ο αλγόριθμος έχει επίσης 3 βήματα. Για να πάρετε ένα κλάσμα από το δεκαδικό, κάντε τα εξής:

Μετρήστε πόσα ψηφία βρίσκονται μετά την υποδιαστολή. Για παράδειγμα, το κλάσμα 1,75 έχει δύο τέτοια ψηφία και το 0,0025 έχει τέσσερα. Ας υποδηλώσουμε αυτή την ποσότητα με το γράμμα $n$.
Ξαναγράψτε τον αρχικό αριθμό ως κλάσμα της μορφής $\frac(a)(((10)^(n)))$, όπου $a$ είναι όλα τα ψηφία του αρχικού κλάσματος (χωρίς τα «αρχικά» μηδενικά στο αριστερά, εάν υπάρχει), και το $n$ είναι ο ίδιος αριθμός ψηφίων μετά την υποδιαστολή που υπολογίσαμε στο πρώτο βήμα. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε τα ψηφία του αρχικού κλάσματος με ένα ακολουθούμενο από μηδενικά $n$.
Εάν είναι δυνατόν, μειώστε το κλάσμα που προκύπτει.

Αυτό είναι όλο! Με την πρώτη ματιά, αυτό το σχέδιο είναι πιο περίπλοκο από το προηγούμενο. Αλλά στην πραγματικότητα είναι και πιο απλό και πιο γρήγορο. Κρίνετε μόνοι σας:

Όπως μπορείτε να δείτε, στο κλάσμα 0,64 υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή - 6 και 4. Επομένως $n=2$. Εάν αφαιρέσουμε το κόμμα και τα μηδενικά στα αριστερά (σε αυτήν την περίπτωση, μόνο ένα μηδέν), θα έχουμε τον αριθμό 64. Ας προχωρήσουμε στο δεύτερο βήμα: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Επομένως, ο παρονομαστής είναι ακριβώς εκατό. Λοιπόν, το μόνο που μένει είναι να μειώσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή :)

Ένα ακόμη παράδειγμα:

Εδώ όλα είναι λίγο πιο περίπλοκα. Πρώτον, υπάρχουν ήδη 3 αριθμοί μετά την υποδιαστολή, δηλ. $n=3$, οπότε πρέπει να διαιρέσετε με $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Δεύτερον, αν αφαιρέσουμε το κόμμα από τον δεκαδικό συμβολισμό, παίρνουμε αυτό: 0,004 → 0004. Θυμηθείτε ότι τα μηδενικά στα αριστερά πρέπει να αφαιρεθούν, οπότε στην πραγματικότητα έχουμε τον αριθμό 4. Τότε όλα είναι απλά: διαιρέστε, μειώστε και λάβετε η απάντηση.

Τέλος, το τελευταίο παράδειγμα:

Η ιδιαιτερότητα αυτού του κλάσματος είναι η παρουσία ενός ολόκληρου μέρους. Επομένως, η έξοδος που παίρνουμε είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα 47/25. Μπορείτε, φυσικά, να προσπαθήσετε να διαιρέσετε το 47 με το 25 με ένα υπόλοιπο και έτσι να απομονώσετε ξανά ολόκληρο το τμήμα. Αλλά γιατί να περιπλέκετε τη ζωή σας εάν αυτό μπορεί να γίνει στο στάδιο της μεταμόρφωσης; Λοιπόν, ας το καταλάβουμε.

Τι να κάνετε με ολόκληρο το μέρος

Στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ απλά: αν θέλουμε να πάρουμε ένα σωστό κλάσμα, τότε πρέπει να αφαιρέσουμε ολόκληρο το τμήμα από αυτό κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού και, στη συνέχεια, όταν λάβουμε το αποτέλεσμα, να το προσθέσουμε ξανά δεξιά πριν από τη γραμμή κλάσματος .

Για παράδειγμα, θεωρήστε τον ίδιο αριθμό: 1,88. Ας σκοράρουμε με ένα (όλο το μέρος) και ας δούμε το κλάσμα 0,88. Μπορεί εύκολα να μετατραπεί:

Στη συνέχεια θυμόμαστε τη "χαμένη" μονάδα και την προσθέτουμε στο μπροστινό μέρος:

\[\frac(22)(25)\έως 1\frac(22)(25)\]

Αυτό είναι όλο! Η απάντηση αποδείχθηκε η ίδια όπως μετά την επιλογή ολόκληρου του μέρους την προηγούμενη φορά. Κάποια ακόμη παραδείγματα:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\έως 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\έως 13\frac(4)(5). \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η ομορφιά των μαθηματικών: ανεξάρτητα από τον τρόπο που πας, αν όλοι οι υπολογισμοί γίνουν σωστά, η απάντηση θα είναι πάντα η ίδια.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να εξετάσω μια ακόμη τεχνική που βοηθά πολλούς.

Μεταμορφώσεις "από το αυτί"

Ας σκεφτούμε τι είναι το δεκαδικό. Πιο συγκεκριμένα, πώς το διαβάζουμε. Για παράδειγμα, ο αριθμός 0,64 - τον διαβάζουμε ως "σημείο μηδέν 64 εκατοστά", σωστά; Λοιπόν, ή απλώς "64 εκατοστά". Η λέξη κλειδί εδώ είναι «εκατοντάδες», δηλ. αριθμός 100.

Τι γίνεται με το 0,004; Αυτό είναι "μηδέν σημείο 4 χιλιοστά" ή απλά "τέσσερα χιλιοστά". Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, η λέξη κλειδί είναι «χιλιάδες», δηλ. 1000.

Ποια είναι λοιπόν η μεγάλη υπόθεση; Και το γεγονός είναι ότι αυτοί οι αριθμοί είναι που τελικά «εμφανίζονται» στους παρονομαστές στο δεύτερο στάδιο του αλγορίθμου. Εκείνοι. Το 0,004 είναι «τέσσερα χιλιοστά» ή «4 διαιρούμενο με το 1000»:

Προσπαθήστε να εξασκηθείτε - είναι πολύ απλό. Το κύριο πράγμα είναι να διαβάσετε σωστά το αρχικό κλάσμα. Για παράδειγμα, το 2,5 είναι "2 ολόκληρα, 5 δέκατα", έτσι

Και περίπου 1,125 είναι «1 ολόκληρο, 125 χιλιοστά», έτσι

Στο τελευταίο παράδειγμα, φυσικά, κάποιος θα αντιταχθεί ότι δεν είναι προφανές σε κάθε μαθητή ότι το 1000 διαιρείται με το 125. Αλλά εδώ πρέπει να θυμάστε ότι 1000 = 10 3, και 10 = 2 ∙ 5, επομένως

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Έτσι, οποιαδήποτε δύναμη του δέκα αποσυντίθεται μόνο στους παράγοντες 2 και 5 - αυτοί οι παράγοντες πρέπει να αναζητηθούν στον αριθμητή, έτσι ώστε στο τέλος όλα να μειωθούν.

Αυτό ολοκληρώνει το μάθημα. Ας προχωρήσουμε σε μια πιο περίπλοκη αντίστροφη λειτουργία - βλ.

Με την αριθμομηχανή κλασμάτων μπορείτε προσθέστε κλάσματα, αφαιρώ κλάσματα, πολλαπλασιάζω κλάσματα, διαιρέστε τα κλάσματα, ανεβάζω τα κλάσματα σε ακέραιες ή κλασματικές δυνάμεις, μετατροπή κοινό κλάσμα V μικτός αριθμός (κλάσμα με ακέραιο μέρος)και πίσω, μετατροπή κλάσμα σε δεκαδικό (δεκαδικό), εκτέλεση απλοποιώντας ένα κλάσμα.

Εάν ένα κλάσμα αποτελείται μόνο από ένα ακέραιο μέρος, τότε το κλασματικό μέρος μπορεί να μείνει κενό. Εάν δεν εισαχθεί ο παρονομαστής ενός κλάσματος, θεωρείται ότι είναι ίσος με 1. Εάν το κλάσμα δεν έχει ακέραιο μέρος, τότε το ακέραιο μέρος μπορεί να μείνει κενό.

Το κουμπί στην επάνω δεξιά γωνία του αρχικού κλάσματος ανοίγει ένα μενού (Εικ. 1) για τη μετατροπή του αρχικού κλάσματος ("Input Line" - μετατρέπει το κλάσμα σε αριθμητή/παρονομαστή, "Fraction" - μετατρέπει τη γραμμή σε κλάσμα, και τα λοιπά.).

Το κλάσμα μπορεί να εισαχθεί ως συμβολοσειρά. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να κάνετε κλικ στο κουμπί και να επιλέξετε "Input Line" στο μενού ανοίγματος (Εικ. 1.). Σε ένα νέο παράθυρο, πρέπει να εισαγάγετε ένα κλάσμα με τη μορφή a/b, όπου τα a και b είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί (b>0). Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Κάνοντας κλικ στα υπολογιζόμενα κλάσματα, ανοίγει ένα μενού (Εικ. 2), το οποίο σας επιτρέπει να γράψετε αυτό το κλάσμα στα αρχικά κλάσματα A και B, καθώς και να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα, ένα μικτό κλάσμα ή έναν δεκαδικό αριθμό.

Κουμπί	Δράση
(·) βαθμός	Το επιλεγμένο κλάσμα αυξάνεται σε ισχύ
√(·)	Υπολογίζει την τετραγωνική ρίζα του επιλεγμένου κλάσματος
Κοινό κλάσμα	Μετατρέπει το επιλεγμένο κλάσμα σε μορφή αριθμητή/παρονομαστή
Απλοποίηση κλάσματος	Προσπαθεί να απλοποιήσει το επιλεγμένο κλάσμα
Μικτό κλάσμα	Μετατρέπει το επιλεγμένο κλάσμα σε μικτό αριθμό
Δεκαδικός	Μετατρέπει το επιλεγμένο κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό
	Καταργεί το συγκεκριμένο μπλοκ
	Εκτύπωση έκφρασης σε εκτυπωτή

Υπολογίστε online το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο δύο κλασμάτων

Ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής κλασμάτων μπορεί να υπολογίσει το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο των κλασμάτων.

Για να υπολογίσετε το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο των κλασμάτων:

Εισάγετε τα στοιχεία των κλασμάτων Α και Β.
Κάντε κλικ στο κουμπί "A+B", "A-B", "A×B" ή "A:B".

Υπολογισμός του βαθμού ενός κλάσματος διαδικτυακά

Ένα κλάσμα μπορεί να αυξηθεί σε ακέραιο ή κλασματική ισχύ. Εάν το κλάσμα είναι αρνητικό και ο βαθμός είναι επίσης κλάσμα, τότε ο βαθμός του κλάσματος είναι απροσδιόριστος.

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 4, δηλ. το υπόλοιπο τμήμα παραμένει. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ολοκληρώνεται διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης όταν διαιρείται με ένα υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός είναι ο αριθμός 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, το οποίο δεν είναι σε συνηθισμένη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο χωρίς ίχνος ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.

Η διαίρεση μπορεί να ελεγχθεί με πολλαπλασιασμό. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a = b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφεί ως κλάσμα $\frac(m)(n)$, όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
$m:n = \frac(m)(n)$

Ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

Για να πάρετε το κλάσμα $\frac(m)(n)$, πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα σε n ίσα μέρη (μερίδια) και να πάρετε m τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα $\frac(m)(n)$, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο από το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
$\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) $

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
$\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) $
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτή η ενέργεια ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. Μικτά νούμερα

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα $\frac(3)(4)$ σημαίνει τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης παραγράφου, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να αναπαραστήσουν μέρη ενός συνόλου. Η κοινή λογική υπαγορεύει ότι το μέρος πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το σύνολο, αλλά τι γίνεται με κλάσματα όπως $\frac(5)(5)$ ή $\frac(8)(5)$; Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς λέγονται τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, λέγονται σωστά κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε κοινό κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι ο αριθμητής αυτού του κλάσματος είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
$5:3 = 1\frac(2)(3) $ : 1 είναι το ακέραιο μέρος και $\frac(2)(3) $ είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος $\frac(a)(b)$ διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
$\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) $

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος $\frac(a)(b)$ δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
$\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) $

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει επίσης όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε με την πρώτη ματιά αν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων.

Μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις με κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με παρονομαστές παρόμοιους. Ας βρούμε, για παράδειγμα, το άθροισμα των $\frac(2)(7)$ και $\frac(3)(7)$. Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι $\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) $

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
$\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) $

Εάν χρειάζεται να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
$\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) $

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι συμβολισμοί όπως $2\frac(2)(3)$ καλούνται μικτά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός 2 ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός $\frac(2)(3)$ είναι δικός του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση $2\frac(2)(3)$ διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Όταν διαιρείτε τον αριθμό 8 με τον αριθμό 3, μπορείτε να λάβετε δύο απαντήσεις: $\frac(8)(3)$ και $2\frac(2)(3)$. Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή $\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)$

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(8)(3)$ αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα $2\frac(2)(3)$. Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι από ακατάλληλο κλάσμα ανέδειξε όλο το μέρος.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Η αφαίρεση των κλασματικών αριθμών, όπως και οι φυσικοί αριθμοί, προσδιορίζεται με βάση τη δράση της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
$\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) $ αφού $\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)$

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
$\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) $

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
$\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) $

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα - ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) με τη μείωση του κλάσματος και την απομόνωση ολόκληρου του τμήματος του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνδυαστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Ας πάρουμε το κλάσμα $\frac(2)(3)$ και ας το "αναποδογυρίσουμε", ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα $\frac(3)(2)$. Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα $\frac(2)(3)$.

Αν τώρα «αντιστρέψουμε» το κλάσμα $\frac(3)(2)$, θα πάρουμε το αρχικό κλάσμα $\frac(2)(3)$. Επομένως, κλάσματα όπως $\frac(2)(3)$ και $\frac(3)(2)$ ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα $\frac(6)(5) $ και $\frac(5)(6) $, $\frac(7)(18) $ και $\frac (18 )(7)$.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: $\frac(a)(b) $ και $\frac(b)(a) $

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1. Για παράδειγμα: $\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 $

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, μπορείτε να μειώσετε τη διαίρεση των κλασμάτων σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα είναι:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
$\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) $

Εάν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι ένας φυσικός αριθμός ή ένα μικτό κλάσμα, τότε για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.