Konvertera decimaltal till bråk. Konvertera ett vanligt bråktal till ett decimaltal och vice versa, regler, exempel Konvertera från ett vanligt bråktal till ett decimaltal
Ange bråk:
Låt oss överväga problemet med att konvertera ett decimaltal till ett vanligt bråk med den nödvändiga noggrannheten. Till exempel,
0,3333333 = 1/3
Det antas att det angivna decimaltalet inte har en heltalsdel.
För att lösa problemet kommer vi att använda två variabler som representerar bråkets täljare och nämnare.
Att hitta en lösning kommer att bestå av två steg:
- Sök efter en ungefärlig lösning
- Förfina lösningen tills den erforderliga noggrannheten erhålls
I det första steget tar vi de initiala värdena för täljaren och nämnaren lika med 1. I varje steg ökar vi nämnarens värde med 1 och hittar bråkdelen
Täljare nämnare
Vid den första iterationen är nämnaren 1 och 1/1=1, och detta värde är större än det angivna decimaltalet. Vi ökar nämnaren med 1 tills vi får
Täljare/nämnare - EnteredFraction< 0
Således har vi hittat den första approximationen. Vi vet att det inmatade bråktalet motsvarar ett vanligt bråktal mellan
Täljare / (nämnare - 1) Och Täljare nämnare
I det andra steget multiplicerar vi täljaren och nämnaren för den erhållna första approximationen med en faktor som tar sekventiella värden 2, 3, 4 osv.
Återigen, genom att öka nämnaren med 1, får vi följande approximation, och om det passar oss när det gäller noggrannhet, kommer vi att anta att den erforderliga ordinarie bråkdelen har hittats.
Implementering i C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
#omfatta
använder namnutrymme std;
void func( gör uble num, gör uble eps, int &ch, int &zn)
{
int a = 1; int b = 1;
int mn = 2; // multiplikator för initial approximation
int iter = 0;
ch = a; zn = b;
// Sök efter initial uppskattning
gör uble c = 1;
gör (
b++;
c = ( gör uble)a/b;
) medan ((antal - c)< 0);
om ((antal - c)< eps)
{
ch = a; zn = b;
lämna tillbaka ;
}
b—;
c = ( gör uble)a/b;
if ((num - c) > -eps)
{
ch = a; zn = b;
lämna tillbaka ;
}
// Förtydligande
medan (iter< 20000)
{
int cc = a*mn, zz = b*mn;
iter++;
gör (
zz++;
c = ( gör uble)cc/zz;
) medan ((antal - c)< 0);
om ((antal - c)< eps)
{
ch = cc; zn = zz;
lämna tillbaka ;
}
zz—;
c = ( gör uble)cc/zz;
if ((num - c) > -eps)
{
ch = cc; zn = zz;
lämna tillbaka ;
}
mn++;
}
}
int main()
{
gör uble i P;
int ch, zn;
gör uble eps = 0,0000001;
cout<<
"num="
;
cin >> inp;
func(inp, eps, ch, zn);
cout<<
ch <<
" / "
<<
zn <<
endl;
cin.get(); cin.get();
retur 1;
}
Utförande resultat
Mycket ofta kräver tillståndet för ett problem att vi skriver svaret i ett decimalbråk, eftersom det är mycket lättare att uppfatta än ett vanligt bråktal. Att konvertera ett bråk till en decimal är mycket enkelt.
Hur man konverterar en bråkdel till en decimal
För att omvandla ett bråk till en decimal måste du dividera täljaren med nämnaren. a/b = a ÷ b
Exempel 1: Konvertera 1/10 till en decimal.
Använd regeln ovan, dividera 1 med 10:
1 ÷ 10 = 0,1
Exempel 2: Konvertera 2/16 till en decimal.
Först och främst minskar vi 2 och 16, vi får 1/8.
Dividera 1 med 8: 1 ÷ 8 = 0,125
Hur man omvandlar ett vanligt bråk till ett oändligt periodiskt bråk
Det finns fall då dividering av täljaren med nämnaren resulterar i ett oändligt decimaltal.
Till exempel, 1/15 = 1 ÷ 15 = 0,1333333333. Vad ska man göra i sådana fall?
Exempel: Konvertera 5/18 till en decimal.
5/18 = 5 ÷ 18 = 0,277777777 = 0,27(7). Vi fick oändligt många sjuor. Parentes betyder att numret som anges i dem upprepas i det oändliga.
I sådana situationer bör du avrunda det resulterande talet. Avrunda 0,277777777 till hundradelar och få ungefär 0,28
Eftersom det ofta tar lång tid att dividera täljaren med nämnaren kan du använda en miniräknare.
Hur man konverterar bråk till decimal online
Om du inte vill konvertera bråk kan du använda onlinetjänsten. Ange bara täljare och nämnarvärden, så kommer miniprogrammet att ge dig svaret. Programmet låter dig också göra tvärtom - omvandla ett decimalbråk till ett vanligt bråktal.
Det verkar som att omvandling av ett decimalbråk till ett vanligt bråk är ett elementärt ämne, men många elever förstår det inte! Därför kommer vi idag att ta en detaljerad titt på flera algoritmer samtidigt, med hjälp av vilka du kommer att förstå alla bråkdelar på bara en sekund.
Låt mig påminna dig om att det finns minst två former av att skriva samma bråk: vanlig och decimal. Decimalbråk är alla typer av konstruktioner av formen 0,75; 1,33; och till och med −7,41. Här är exempel på vanliga bråk som uttrycker samma tal:
Låt oss nu ta reda på det: hur går man från decimalnotation till vanlig notation? Och viktigast av allt: hur gör man detta så snabbt som möjligt?
Grundläggande algoritm
Faktum är att det finns minst två algoritmer. Och vi ska titta på båda nu. Låt oss börja med den första - den enklaste och mest begripliga.
För att konvertera en decimal till en bråkdel måste du följa tre steg:
En viktig anmärkning om negativa siffror. Om det i det ursprungliga exemplet finns ett minustecken framför decimalbråket, så ska det i utgången också finnas ett minustecken framför det gemensamma bråket. Här är några fler exempel:
Exempel på övergång från decimalnotation av bråk till vanliga Jag skulle vilja fästa särskild uppmärksamhet vid det sista exemplet. Som du kan se innehåller bråket 0,0025 många nollor efter decimalkomma. På grund av detta måste du multiplicera täljaren och nämnaren med 10 så många som fyra gånger. Är det möjligt att på något sätt förenkla algoritmen i det här fallet?
Såklart du kan. Och nu ska vi titta på en alternativ algoritm - den är lite svårare att förstå, men efter lite övning fungerar den mycket snabbare än standarden.
Snabbare sätt
Denna algoritm har också 3 steg. För att få en bråkdel från en decimal, gör följande:
- Räkna hur många siffror som finns efter decimalkomma. Till exempel har bråkdelen 1,75 två sådana siffror och 0,0025 har fyra. Låt oss beteckna denna kvantitet med bokstaven $n$.
- Skriv om det ursprungliga talet som en bråkdel av formen $\frac(a)(((10)^(n)))$, där $a$ är alla siffror i den ursprungliga bråkdelen (utan de "startande" nollorna på vänster, om någon), och $n$ är samma antal siffror efter decimalkomma som vi beräknade i det första steget. Med andra ord måste du dividera siffrorna i det ursprungliga bråket med ett följt av $n$ nollor.
- Om möjligt, reducera den resulterande fraktionen.
Det är allt! Vid första anblicken är detta schema mer komplicerat än det föregående. Men i själva verket är det både enklare och snabbare. Bedöm själv:
Som du kan se, i bråket 0,64 finns det två siffror efter decimalkomma - 6 och 4. Därför $n=2$. Om vi tar bort kommatecken och nollorna till vänster (i detta fall bara en nolla) får vi talet 64. Låt oss gå vidare till det andra steget: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Därför är nämnaren exakt hundra. Nåväl, då återstår bara att minska täljaren och nämnaren. :)
Ytterligare ett exempel:
Här är allt lite mer komplicerat. För det första finns det redan 3 siffror efter decimalkomma, d.v.s. $n=3$, så du måste dividera med $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. För det andra, om vi tar bort kommatecken från decimalnotationen får vi detta: 0,004 → 0004. Kom ihåg att nollorna till vänster måste tas bort, så i själva verket har vi talet 4. Då är allt enkelt: dividera, reducera och få svaret.
Till sist det sista exemplet:
Det speciella med denna fraktion är närvaron av en hel del. Därför är resultatet vi får en oegentlig bråkdel av 47/25. Du kan naturligtvis försöka dividera 47 med 25 med en rest och på så sätt återigen isolera hela delen. Men varför komplicera ditt liv om detta kan göras i transformationsstadiet? Nåväl, låt oss ta reda på det.
Vad ska man göra med hela delen
Faktum är att allt är väldigt enkelt: om vi vill få en riktig bråkdel, måste vi ta bort hela delen från den under omvandlingen, och sedan, när vi får resultatet, lägg till den igen till höger före bråklinjen .
Tänk till exempel på samma siffra: 1,88. Låt oss göra poäng med ett (hela delen) och titta på bråket 0,88. Det kan enkelt konverteras:
Sedan minns vi om den "förlorade" enheten och lägger till den på framsidan:
\[\frac(22)(25)\till 1\frac(22)(25)\]
Det är allt! Svaret visade sig vara detsamma som efter att ha valt hela delen förra gången. Ett par exempel till:
\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\till 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\till 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]
Det här är skönheten med matematik: oavsett vilken väg du går, om alla beräkningar görs korrekt, kommer svaret alltid att vara detsamma. :)
Avslutningsvis skulle jag vilja överväga ytterligare en teknik som hjälper många.
Transformationer "på gehör"
Låt oss fundera på vad en decimal ens är. Mer exakt hur vi läser det. Till exempel talet 0,64 - vi läser det som "nollpunkt 64 hundradelar", eller hur? Tja, eller bara "64 hundradelar". Nyckelordet här är "hundradelar", d.v.s. nummer 100.
Vad sägs om 0,004? Detta är "noll punkt 4 tusendelar" eller helt enkelt "fyra tusendelar". På ett eller annat sätt är nyckelordet ”tusentals”, d.v.s. 1000.
Så vad är grejen? Och faktum är att det är dessa siffror som i slutändan "poppar upp" i nämnare i det andra steget av algoritmen. De där. 0,004 är "fyra tusendelar" eller "4 dividerat med 1000":
Försök att öva själv – det är väldigt enkelt. Det viktigaste är att läsa den ursprungliga bråkdelen korrekt. Till exempel är 2,5 "2 hela, 5 tiondelar", alltså
Och några 1,125 är "1 hel, 125 tusendelar", alltså
I det sista exemplet kommer naturligtvis någon att invända att det inte är uppenbart för varje elev att 1000 är delbart med 125. Men här måste du komma ihåg att 1000 = 10 3, och 10 = 2 ∙ 5, därför
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]
Således bryts varje potens av tio bara upp i faktorerna 2 och 5 - det är dessa faktorer som måste letas efter i täljaren, så att allt i slutändan reduceras.
Detta avslutar lektionen. Låt oss gå vidare till en mer komplex omvänd operation - se "
Med bråkräknaren kan du lägg till fraktioner, subtrahera bråk, multiplicera bråk, dela fraktioner, höja bråk till hela eller bråkpotenser, konvertera vanlig bråkdel V blandat tal (bråk med en heltalsdel) och tillbaka, konvertera bråk till decimal (decimal), Kör förenkla en bråkdel.
Om en bråkdel endast består av en heltalsdel, kan bråkdelen lämnas tom. Om nämnaren för ett bråk inte anges, antas det vara lika med 1. Om bråket inte har en heltalsdel kan heltalsdelen lämnas tom.
Knappen i det övre högra hörnet av det ursprungliga bråket öppnar en meny (Fig. 1) för omvandling av det ursprungliga bråket ("Input Line" - omvandlar bråket till en täljare/nämnare, "Bråk" - omvandlar linjen till ett bråk, etc.).
Bråket kan anges som en sträng. För att göra detta måste du klicka på knappen och välja "Input Line" i öppningsmenyn (Fig. 1.). I ett nytt fönster måste du ange ett bråk i formen a/b, där a och b är heltal eller decimaltal (b>0). Exempel 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.
Genom att klicka på de beräknade bråken öppnas en meny (bild 2), som låter dig skriva in detta bråk i de ursprungliga bråken A och B, samt omvandla bråken till ett vanligt bråk, ett blandat bråk eller ett decimaltal.
| Knapp | Handling |
|---|---|
| (·) grad | Den valda bråkdelen höjs till en potens |
| √(·) | Beräknar kvadratroten av det valda bråket |
| Vanlig bråkdel | Konverterar det valda bråket till täljare/nämnarform |
| Förenkla en bråkdel | Försöker förenkla det valda bråket |
| Blandad fraktion | Konverterar det valda bråket till ett blandat tal |
| Decimal | Konverterar det valda bråket till ett decimaltal |
| Tar bort det givna blocket | |
| Skriva ut ett uttryck på en skrivare |
Beräkna summan, skillnaden, produkten och kvoten av två bråk online
En bråkräknare online kan beräkna summan, skillnaden, produkten och kvoten av bråk.
För att beräkna summan, skillnaden, produkten och kvoten av bråk:
- Ange elementen i bråk A och B.
- Klicka på knappen "A+B", "A-B", "A×B" eller "A:B".
Beräkna graden av en bråkdel online
Ett bråk kan höjas till ett heltal eller bråkpotens. Om bråkdelen är negativ och graden också är en bråkdel, är bråkets grad odefinierad.
Om vi behöver dividera 497 med 4, så kommer vi när vi dividerar att se att 497 inte är jämnt delbart med 4, d.v.s. återstoden av divisionen återstår. I sådana fall sägs det att den är klar division med resten, och lösningen är skriven som följer:
497: 4 = 124 (1 återstod).
Divisionskomponenterna på vänster sida av jämlikheten kallas samma som i division utan rest: 497 - utdelning, 4 - delare. Resultatet av division när det delas med en rest kallas ofullständig privat. I vårt fall är detta siffran 124. Och slutligen är den sista komponenten, som inte är i vanlig division, återstoden. I de fall det inte finns någon rest, sägs ett tal delas med ett annat utan spår, eller helt. Man tror att med en sådan uppdelning är resten noll. I vårt fall är resten 1.
Resten är alltid mindre än divisorn.
Division kan kontrolleras genom multiplikation. Om det till exempel finns en likhet 64: 32 = 2, kan kontrollen göras så här: 64 = 32 * 2.
Ofta i de fall där division med en rest utförs är det lämpligt att använda jämställdheten
a = b * n + r,
där a är utdelningen, b är divisorn, n är partialkvoten, r är resten.
Kvoten av naturliga tal kan skrivas som en bråkdel.
Täljaren för ett bråk är utdelningen och nämnaren är divisorn.
Eftersom täljaren för ett bråk är utdelningen och nämnaren är divisor, tror att linjen i ett bråk betyder divisionens verkan. Ibland är det bekvämt att skriva division som ett bråk utan att använda tecknet ":".
Kvoten för divisionen av naturliga tal m och n kan skrivas som ett bråktal \(\frac(m)(n)\), där täljaren m är utdelningen och nämnaren n är divisor:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Följande regler är sanna:
För att få bråket \(\frac(m)(n)\), måste du dela upp enheten i n lika delar (andelar) och ta m sådana delar.
För att få bråket \(\frac(m)(n)\), måste du dividera talet m med talet n.
För att hitta en del av en helhet måste du dividera talet som motsvarar helheten med nämnaren och multiplicera resultatet med täljaren för bråket som uttrycker denna del.
För att hitta en helhet från dess del måste du dividera talet som motsvarar denna del med täljaren och multiplicera resultatet med nämnaren för bråket som uttrycker denna del.
Om både täljaren och nämnaren för ett bråk multipliceras med samma tal (förutom noll), kommer värdet på bråket inte att ändras:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Om både täljaren och nämnaren för ett bråk divideras med samma tal (förutom noll), kommer bråkets värde inte att ändras:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Denna egenskap kallas huvudegenskapen hos en bråkdel.
De två sista transformationerna kallas minska en bråkdel.
Om bråk behöver representeras som bråk med samma nämnare, anropas denna åtgärd reducera bråk till en gemensam nämnare.
Rätta och oegentliga bråk. Blandade siffror
Du vet redan att en bråkdel kan erhållas genom att dela en helhet i lika delar och ta flera sådana delar. Till exempel betyder bråket \(\frac(3)(4)\) tre fjärdedelar av ett. I många av problemen i föregående stycke användes bråk för att representera delar av en helhet. Sunt förnuft säger att delen alltid ska vara mindre än helheten, men hur är det med bråk som \(\frac(5)(5)\) eller \(\frac(8)(5)\)? Det är tydligt att detta inte längre är en del av enheten. Det är förmodligen därför bråk vars täljare är större än eller lika med nämnaren kallas felaktiga fraktioner. De återstående bråken, det vill säga bråk vars täljare är mindre än nämnaren, kallas rätt bråk.
Som du vet kan vilket vanligt bråk som helst, både korrekt och oegent, ses som ett resultat av att dividera täljaren med nämnaren. Därför, i matematik, till skillnad från vanligt språk, betyder termen "oegentlig bråkdel" inte att vi gjorde något fel, utan bara att täljaren för detta bråktal är större än eller lika med nämnaren.
Om ett tal består av en heltalsdel och en bråkdel, då en sådan fraktioner kallas blandade.
Till exempel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 är heltalsdelen och \(\frac(2)(3) \) är bråkdelen.
Om täljaren för bråket \(\frac(a)(b)\) är delbart med ett naturligt tal n, måste dess täljare divideras med detta tal för att dividera bråket med n:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Om täljaren för bråket \(\frac(a)(b)\) inte är delbart med ett naturligt tal n, så för att dividera detta bråktal med n, måste du multiplicera dess nämnare med detta tal:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Observera att den andra regeln också är sann när täljaren är delbar med n. Därför kan vi använda det när det är svårt att vid första anblicken avgöra om täljaren för ett bråk är delbart med n eller inte.
Åtgärder med bråk. Lägga till bråk.
Du kan utföra aritmetiska operationer med bråktal, precis som med naturliga tal. Låt oss titta på att lägga till bråk först. Det är lätt att lägga till bråk med liknande nämnare. Låt oss till exempel hitta summan av \(\frac(2)(7)\) och \(\frac(3)(7)\). Det är lätt att förstå att \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och låta nämnaren vara densamma.
Med hjälp av bokstäver kan regeln för att lägga till bråk med liknande nämnare skrivas på följande sätt:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Om du behöver lägga till bråk med olika nämnare måste de först reduceras till en gemensam nämnare. Till exempel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
För bråk, liksom för naturliga tal, är de kommutativa och associativa egenskaperna för addition giltiga.
Tillsätt blandade fraktioner
Notationer som \(2\frac(2)(3)\) anropas blandade fraktioner. I det här fallet anropas numret 2 hela delen blandad bråkdel, och talet \(\frac(2)(3)\) är dess bråkdel. Posten \(2\frac(2)(3)\) läses enligt följande: "två och två tredjedelar."
När du dividerar talet 8 med talet 3 kan du få två svar: \(\frac(8)(3)\) och \(2\frac(2)(3)\). De uttrycker samma bråktal, dvs \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Således representeras det oegentliga bråket \(\frac(8)(3)\) som ett blandat bråktal \(2\frac(2)(3)\). I sådana fall säger de det från en felaktig bråkdel lyfte fram hela delen.
Subtrahera bråktal (bråktal)
Subtraktion av bråktal, precis som naturliga tal, bestäms utifrån verkan av addition: att subtrahera ett annat från ett tal innebär att hitta ett tal som, när det läggs till det andra, ger det första. Till exempel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) sedan \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)
Regeln för att subtrahera bråk med liknande nämnare liknar regeln för att addera sådana bråk:
För att hitta skillnaden mellan bråk med samma nämnare måste du subtrahera täljaren för den andra från täljaren för det första bråket och lämna nämnaren densamma.
Med hjälp av bokstäver skrivs denna regel så här:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Multiplicera bråk
För att multiplicera ett bråk med ett bråk, måste du multiplicera deras täljare och nämnare och skriva den första produkten som täljare och den andra som nämnare.
Med hjälp av bokstäver kan regeln för att multiplicera bråk skrivas på följande sätt:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Med hjälp av den formulerade regeln kan du multiplicera ett bråktal med ett naturligt tal, med ett blandat bråktal och även multiplicera blandade bråk. För att göra detta måste du skriva ett naturligt tal som ett bråk med nämnaren 1, ett blandat bråk - som ett oegentligt bråk.
Resultatet av multiplikationen bör förenklas (om möjligt) genom att reducera fraktionen och isolera hela delen av den felaktiga fraktionen.
För bråk, som för naturliga tal, gäller de kommutativa och kombinativa egenskaperna för multiplikation, såväl som den fördelande egenskapen för multiplikation i förhållande till addition.
Division av bråk
Låt oss ta bråket \(\frac(2)(3)\) och "vända" det och byta täljare och nämnare. Vi får bråket \(\frac(3)(2)\). Denna fraktion kallas omvänd bråk \(\frac(2)(3)\).
Om vi nu "vänder" bråket \(\frac(3)(2)\), får vi det ursprungliga bråket \(\frac(2)(3)\). Därför kallas bråk som \(\frac(2)(3)\) och \(\frac(3)(2)\) ömsesidigt omvänt.
Till exempel, bråken \(\frac(6)(5) \) och \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) och \(\frac (18) )(7)\).
Med hjälp av bokstäver kan ömsesidiga bråk skrivas enligt följande: \(\frac(a)(b) \) och \(\frac(b)(a) \)
Det är tydligt att produkten av ömsesidiga fraktioner är lika med 1. Till exempel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Genom att använda ömsesidiga bråktal kan du reducera division av bråk till multiplikation.
Regeln för att dividera ett bråk med ett bråk är:
För att dividera en bråkdel med en annan, måste du multiplicera utdelningen med den reciproka av divisorn.
Med hjälp av bokstäver kan regeln för att dividera bråk skrivas på följande sätt:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Om utdelningen eller divisorn är ett naturligt tal eller ett blandat bråk, måste det först representeras som ett oegentligt bråk för att kunna använda regeln för att dividera bråk.
