Törtek összehasonlítása: szabályok, példák, megoldások. Számok összehasonlítása

Egyenletek és egyenlőtlenségek, valamint modulokkal kapcsolatos feladatok megoldásánál a talált gyökereket a valós egyenesen kell megtalálni.

Mint tudják, a talált gyökerek eltérőek lehetnek. Lehetnek ilyenek:, vagy ilyenek:,.

Ennek megfelelően, ha a számok nem racionálisak, hanem irracionálisak (ha elfelejtette, hogy mi az, nézze meg a témában), vagy összetett matematikai kifejezések, akkor a számegyenesen való elhelyezésük nagyon problémás.

Ráadásul a vizsgán nem lehet számológépet használni, és a hozzávetőleges számítás sem ad 100%-os garanciát arra, hogy az egyik szám kisebb, mint a másik (mi van, ha különbség van az összehasonlított számok között?).

Természetesen tudja, hogy a pozitív számok mindig nagyobbak, mint a negatívak, és ha egy számtengelyt ábrázolunk, akkor összehasonlításkor legnagyobb számok jobbra fog elhelyezkedni, mint a legkisebb: ; ; stb.

De mindig ilyen könnyű?

Ahol a számegyenesen jelöljük .

Hogyan lehet őket összehasonlítani például egy számmal? Itt van a dörzsölés...)

Ebben a cikkben áttekintjük a számok összehasonlításának összes módját, hogy ez ne okozzon problémát a vizsgán!

Először is beszéljünk általánosságban arról, hogyan és mit kell összehasonlítani.

Fontos: kívánatos az átalakításokat úgy végezni, hogy az egyenlőtlenség előjele ne változzon! Vagyis az átalakítások során nem kívánatos negatív számmal szorozni, és ez tiltott négyzet, ha az egyik rész negatív.

Frakciók összehasonlítása

Tehát két törtet kell összehasonlítanunk: és.

Ennek több lehetősége is van.

1. lehetőség: hozza a törteket egy közös nevezőre.

Írjuk közönséges törtként:

- (amint látod, én is csökkentettem a számlálóval és a nevezővel).

Most össze kell hasonlítanunk a törteket:

Most kétféleképpen is folytathatjuk az összehasonlítást. Tudunk:

1. csak redukáljon mindent egy közös nevezőre, mindkét törtet helytelenként jelenítse meg (a számláló nagyobb, mint a nevező):

   Melyik szám nagyobb? Így van, amelyiknek a számlálója nagyobb, vagyis az első.

2. „eldobni” (feltételezzük, hogy minden törtből kivontunk egyet, és a törtek egymáshoz viszonyított aránya nem változott), és összehasonlítjuk a törteket:

   Ezeket is közös nevezőre hozzuk:

   Pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az előző esetben - az első szám nagyobb, mint a második:

   Ellenőrizzük azt is, hogy helyesen vontunk-e ki egyet? Számítsuk ki a számláló különbségét az első és a második számításban:
   1)
   2)

Tehát megvizsgáltuk, hogyan lehet a törteket összehasonlítani, és közös nevezőre hozni őket. Térjünk át egy másik módszerre - a törtek összehasonlítására úgy, hogy egy közös ... számlálóhoz hozzák őket.

2. lehetőség. Törtek összehasonlítása redukcióval egy közös számlálóval.

Igen igen. Ez nem elírás. Az iskolában ezt a módszert ritkán tanítják senkinek, de nagyon gyakran nagyon kényelmes. Annak érdekében, hogy gyorsan megértse a lényegét, csak egy kérdést teszek fel Önnek - „milyen esetekben a legnagyobb a tört értéke?” Természetesen azt fogja mondani, hogy „amikor a számláló a lehető legnagyobb, a nevező pedig a lehető legkisebb”.

Például biztosan azt fogja mondani, hogy igaz? És ha össze kell hasonlítanunk az ilyen törteket: Azt hiszem, te is azonnal helyesen helyezed el a jelet, mert az első esetben részekre, a másodikban pedig egészekre vannak osztva, ami azt jelenti, hogy a második esetben a darabok nagyon kicsik, és ennek megfelelően:. Mint látható, a nevezők itt különböznek, de a számlálók ugyanazok. A két tört összehasonlításához azonban nem kell közös nevezőt találnia. Bár ... keresse meg, és nézze meg, hogy az összehasonlító jel továbbra is rossz-e?

De a jel ugyanaz.

Térjünk vissza eredeti feladatunkhoz - összehasonlítani és. Összehasonlítjuk és Ezeket a törteket nem egy közös nevezőhöz, hanem egy közös számlálóhoz hozzuk. Ehhez egyszerű számláló és nevező az első törtet megszorozzuk ezzel. Kapunk:

És. Melyik töredék nagyobb? Így van, az első.

3. lehetőség. Törtek összehasonlítása kivonással.

Hogyan hasonlítsuk össze a törteket kivonással? Igen, nagyon egyszerű. Egy törtből kivonunk egy másikat. Ha az eredmény pozitív, akkor az első tört (redukált) nagyobb, mint a második (kivonva), és ha negatív, akkor fordítva.

Esetünkben próbáljuk meg kivonni az első törtet a másodikból: .

Amint már megértette, mi is lefordítjuk egy közönséges törtre, és ugyanazt az eredményt kapjuk -. Kifejezésünk a következő:

Továbbá továbbra is a közös nevezőre való redukcióhoz kell folyamodnunk. A kérdés az, hogyan: az első módon a törteket nem megfelelővé alakítjuk át, vagy a második módon, mintha „eltávolítanák” az egységet? Ennek a cselekvésnek egyébként teljesen matematikai indoka van. Néz:

A második lehetőség jobban tetszik, mivel a számláló szorzása a közös nevezőre való redukáláskor sokszor könnyebbé válik.

Közös nevezőre jutunk:

Itt az a lényeg, hogy ne keverjük össze, hogy melyik számból és honnan vontuk ki. Óvatosan nézze meg a megoldás menetét, és véletlenül se keverje össze a jeleket. Kivontuk az elsőt a második számból, és nemleges választ kaptunk, tehát? .. Így van, az első szám nagyobb, mint a második.

Megvan? Próbálja meg összehasonlítani a törteket:

Állj Állj. Ne rohanjon közös nevezőre hozni vagy kivonni. Nézd: könnyen átváltható tizedes törtté. Mennyi lesz? Jobb. Mi lesz a vége több?

Ez egy másik lehetőség - a törtek összehasonlítása tizedesjegyre történő csökkentésével.

4. lehetőség. Törtek összehasonlítása osztás segítségével.

Igen igen. És így az is lehetséges. A logika egyszerű: ha egy nagyobb számot elosztunk egy kisebbel, akkor egynél nagyobb számot kapunk a válaszban, ha pedig kisebb számot osztunk el egy nagyobbal, akkor a válasz a tól ig intervallumra esik.

Ahhoz, hogy emlékezzen erre a szabályra, vegyen összehasonlításra bármely két prímszámot, például és. Tudod mi több? Most osszuk el. A mi válaszunk az. Ennek megfelelően az elmélet helyes. Ha osztunk eggyel, amit kapunk, az kevesebb egynél, ami viszont megerősíti azt, ami valójában kevesebb.

Próbáljuk meg alkalmazni ezt a szabályt a közönséges törtekre. Összehasonlítás:

Ossza el az első törtet a másodikkal:

Rövidítsük le fokozatosan.

Az eredmény kisebb, tehát az osztalék kisebb, mint az osztó, azaz:

Elemeztük az összes lehetséges lehetőséget a törtek összehasonlítására. Amint látja, 5 van belőlük:

• közös nevezőre redukálás;
• csökkentés közös számlálóra;
• tizedes tört formájú csökkentés;
• kivonás;
• osztály.

Készen állsz az edzésre? Hasonlítsa össze a törteket a legjobb módon:

Hasonlítsuk össze a válaszokat:

1. (- konvertálás decimálisra)
2. (egy törtet el kell osztani a másikkal, és csökkenteni kell a számlálóval és a nevezővel)
3. (jelölje ki a teljes részt, és hasonlítsa össze a törteket az azonos számláló elve szerint)
4. (egy törtet el kell osztani a másikkal, és csökkenteni a számlálóval és a nevezővel).

2. A fokozatok összehasonlítása

Most képzeljük el, hogy nemcsak számokat kell összehasonlítanunk, hanem olyan kifejezéseket is, ahol van fokozat ().

Természetesen könnyen elhelyezhet egy táblát:

Hiszen ha a fokszámot szorzással helyettesítjük, azt kapjuk:

Ebből a kicsi és primitív példából a szabály a következő:

Most próbálja meg összehasonlítani a következőket: . Könnyen elhelyezhet egy táblát is:

Mert ha a hatványozást szorzással helyettesítjük...

Általában mindent értesz, és egyáltalán nem nehéz.

Nehézségek csak akkor merülnek fel, ha összehasonlítva a fokozatoknak eltérő alapja és mutatója van. Ebben az esetben meg kell próbálni közös alapra hozni. Például:

Természetesen tudja, hogy ennek megfelelően a kifejezés a következő formában jelenik meg:

Nyissuk ki a zárójeleket, és hasonlítsuk össze, mi történik:

Némileg speciális eset az, amikor a fokozat () alapja kisebb egynél.

Ha, akkor két vagy több fokos, az, amelynek a mutatója kisebb.

Próbáljuk bebizonyítani ezt a szabályt. Legyen.

Bevezetünk néhány természetes számot és különbségeként.

Logikus, nem?

Most figyeljünk a feltételre - .

Illetve: . Ennélfogva, .

Például:

Amint érti, azt az esetet vizsgáltuk, amikor a hatványok alapjai egyenlőek. Most nézzük meg, hogy az alap mikor van a -tól tartományban, de a kitevők egyenlők. Itt minden nagyon egyszerű.

Emlékezzünk arra, hogyan hasonlítsuk össze ezt egy példával:

Persze gyorsan kiszámoltad:

Ezért, ha összehasonlítás céljából hasonló problémákkal találkozik, tartson szem előtt néhány egyszerű hasonló példát, amelyet gyorsan ki tud számítani, és e példa alapján tegyen jeleket egy összetettebbbe.

Az átalakítások végrehajtásakor ne feledje, hogy ha szoroz, összead, kivon vagy oszt, akkor minden műveletet a bal és a jobb oldalon is meg kell tenni (ha szoroz, akkor mindkettőt meg kell szoroznia).

Ezenkívül vannak olyan esetek, amikor bármilyen manipuláció egyszerűen veszteséges. Például össze kell hasonlítani. Ebben az esetben nem olyan nehéz hatalomra emelni, és ez alapján rendezni a jelet:

Gyakoroljunk. Hasonlítsa össze a diplomákat:

Készen áll a válaszok összehasonlítására? Íme, amit kaptam:

1. - ugyanaz, mint a
2. - ugyanaz, mint a
3. - ugyanaz, mint a
4. - ugyanaz, mint a

3. Számok összehasonlítása gyökkel

Kezdjük azzal, hogy mik azok a gyökerek? Emlékszel erre a bejegyzésre?

A valós szám gyöke olyan szám, amelyre érvényes az egyenlőség.

Gyökerek páratlan fok létezik negatív és pozitív számokra, és akár gyökerek- Csak pozitívan.

A gyök értéke gyakran végtelen tizedes, ami megnehezíti a pontos kiszámítását, ezért fontos a gyökök összehasonlítása.

Ha elfelejtette, mi az, és mivel eszik -. Ha mindenre emlékszel, tanuljuk meg lépésről lépésre összehasonlítani a gyökereket.

Tegyük fel, hogy össze kell hasonlítanunk:

A két gyökér összehasonlításához nem kell számításokat végeznie, elég elemeznie a „gyökér” fogalmát. Érted, miről beszélek? Igen, erről: egyébként felírható valamilyen szám harmadik hatványaként, egyenlő a gyökkifejezéssel.

Mi több? vagy? Ezt természetesen minden nehézség nélkül össze lehet hasonlítani. Minél nagyobb számot emelünk hatványra, annál nagyobb lesz az érték.

Így. Vegyük a szabályt.

Ha a gyökök kitevői megegyeznek (esetünkben ez), akkor össze kell hasonlítani a gyökérkifejezéseket (és) - minél nagyobb a gyökérszám, annál nagyobb a gyökér értéke egyenlő mutatókkal.

Nehéz megjegyezni? Akkor csak tartson szem előtt egy példát és. Hogy több?

A gyökök kitevője megegyezik, mivel a gyök négyzet. Egy szám gyökkifejezése () nagyobb, mint egy másik (), ami azt jelenti, hogy a szabály valóban igaz.

De mi van akkor, ha a radikális kifejezések ugyanazok, de a gyökök fokozatai eltérőek? Például: .

Az is teljesen világos, hogy nagyobb fokú gyökér kinyerésekor kisebb számot kapunk. Vegyük például:

Jelölje az első gyökér értékét as, a második - as értékét, majd:

Könnyen beláthatja, hogy ezekben az egyenletekben többnek kell lennie, ezért:

Ha a gyökérkifejezések megegyeznek(a mi esetünkben), és a gyökök kitevői különbözőek(a mi esetünkben ez és), akkor össze kell hasonlítani a kitevőket(És) - minél nagyobb a kitevő, annál kisebb az adott kifejezés.

Próbálja meg összehasonlítani a következő gyökereket:

Hasonlítsuk össze az eredményeket?

Ezzel sikeresen megbirkóztunk :). Felmerül egy másik kérdés: mi van, ha mindannyian mások vagyunk? És a fokozat, és a radikális kifejezés? Nem minden olyan nehéz, csak "meg kell szabadulnunk" a gyökértől. Igen igen. Megszabadulni tőle.)

Ha különböző fokszámúak és gyökkifejezéseink vannak, akkor meg kell találni a gyökkitevők legkisebb közös többszörösét (olvassuk el a róluk szóló részt), és mindkét kifejezést a legkisebb közös többszörössel egyenlő hatványra kell emelni.

Hogy mindannyian szavakban és szavakban vagyunk. Íme egy példa:

1. Megnézzük a gyökerek mutatóit - és. Legkisebb közös többszörösük a .
2. Emeljük mindkét kifejezést hatványra:
3. Alakítsuk át a kifejezést és bontsuk ki a zárójeleket (további részletek a fejezetben):
4. Gondoljuk át, mit tettünk, és tegyünk egy jelet:

4. A logaritmusok összehasonlítása

Így lassan, de biztosan megközelítettük a logaritmusok összehasonlításának kérdését. Ha nem emlékszik, milyen állatról van szó, azt tanácsolom, hogy először olvassa el a szakasz elméletét. Olvas? Ezután válaszoljon néhány fontos kérdésre:

1. Mi a logaritmus argumentuma és mi az alapja?
2. Mi határozza meg, hogy egy függvény növekszik vagy csökken?

Ha mindenre emlékszel, és jól megtanultad – kezdjük!

A logaritmusok egymással való összehasonlításához mindössze 3 trükköt kell ismernie:

• csökkentés ugyanarra az alapra;
• ugyanarra az érvre vetve;
• összehasonlítás a harmadik számmal.

Először is figyeljen a logaritmus alapjára. Emlékszel, ha kisebb, akkor a függvény csökken, ha pedig nagyobb, akkor nő. Ezen fognak alapulni ítéleteink.

Fontolja meg azoknak a logaritmusoknak az összehasonlítását, amelyeket már redukáltunk ugyanarra az alapra vagy argumentumra.

Kezdésként egyszerűsítsük a feladatot: engedjük be az összehasonlított logaritmusokat egyenlő alapon. Akkor:

1. A függvény, ha növekszik a from intervallumon, definíció szerint azt jelenti, hogy akkor („közvetlen összehasonlítás”).
2. Példa:- az alapok megegyeznek, ill. összehasonlítjuk az argumentumokat: , ezért:
3. Az at függvény a from intervallumon csökken, ami definíció szerint akkor („fordított összehasonlítás”). - az alapok megegyeznek, illetve összehasonlítjuk az argumentumokat: , azonban a logaritmusok előjele „fordított” lesz, mivel a függvény csökken: .

Most nézzük meg azokat az eseteket, amikor az alapok különböznek, de az érvek ugyanazok.

1. Az alap nagyobb.
   • . Ebben az esetben a "fordított összehasonlítást" használjuk. Például: - az argumentumok megegyeznek, és. Összehasonlítjuk az alapokat: a logaritmusok előjele viszont „fordított” lesz:
2. Az a bázis között van.
   • . Ebben az esetben a „közvetlen összehasonlítást” használjuk. Például:
   • . Ebben az esetben a "fordított összehasonlítást" használjuk. Például:

Írjunk le mindent általános táblázatos formában:

, ahol	, ahol

Ennek megfelelően, amint azt már megértette, a logaritmusok összehasonlításakor ugyanarra az alapra vagy argumentumra kell hoznunk, hogy ugyanarra a bázisra jutunk az egyik bázisról a másikra való mozgás képletével.

Összehasonlíthatja a logaritmusokat egy harmadik számmal is, és ez alapján következtethet arra, hogy mi a kevesebb és mi a több. Például gondolkodjon el azon, hogyan hasonlítsa össze ezt a két logaritmust?

Egy kis tipp - összehasonlításképpen a logaritmus sokat segít, amelynek érve megegyezik.

Gondolat? Döntsünk együtt.

Könnyen összehasonlíthatjuk Önnel ezt a két logaritmust:

Nem tudom hogyan? Lásd fent. Csak szétszedtük. Milyen jel lesz ott? Jobb:

Egyetért?

Hasonlítsuk össze egymással:

A következőket kell beszerezned:

Most egyesítsük az összes következtetésünket egybe. Megtörtént?

5. Trigonometrikus kifejezések összehasonlítása.

Mi a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens? Mire való az egységkör és hogyan lehet megtalálni rajta a trigonometrikus függvények értékét? Ha nem tudja a választ ezekre a kérdésekre, erősen ajánlom, hogy olvassa el az elméletet ebben a témában. És ha tudod, akkor a trigonometrikus kifejezések egymással való összehasonlítása nem nehéz számodra!

Frissítsük fel egy kicsit az emlékezetünket. Rajzoljunk egy egységnyi trigonometrikus kört és egy abba írt háromszöget. Sikerült? Most a háromszög oldalaival jelöljük meg, hogy melyik oldalon van a koszinusz, és melyik oldalon. (Persze emlékszel, hogy a szinusz az ellenkező oldal és a hipotenusz aránya, és a szomszédos koszinusza?). Rajzoltál? Nagy! Az utolsó simítás – tedd le, hol lesz, hol és így tovább. Tedd le? Fú) Hasonlítsd össze, mi történt velem és veled.

Fú! Most kezdjük az összehasonlítást!

Tegyük fel, hogy össze kell hasonlítanunk és . Rajzolja meg ezeket a szögeket a négyzetekbe (ahol megjelöltük, hogy hol) utasításokat használva a pontokat az egységkörön. Sikerült? Íme, amit kaptam.

Most engedjük le a merőlegest a körön megjelölt pontokból a tengelyre... Melyik? Melyik tengely mutatja a szinuszok értékét? Jobb, . A következőket kell beszerezned:

Ezt a figurát nézve melyik a nagyobb: vagy? Persze, mert a lényeg a lényeg felett áll.

Hasonlóan hasonlítjuk össze a koszinusz értékét. Csak a merőlegest engedjük le a tengelyre... Jobbra, . Ennek megfelelően azt nézzük, hogy melyik pont van jobbra (jól, vagy magasabban, mint a szinuszoknál), akkor az érték nagyobb.

Valószínűleg már tudja, hogyan kell összehasonlítani az érintőket, igaz? Csak azt kell tudni, hogy mi az érintő. Tehát mi az érintő?) Így van, a szinusz és a koszinusz aránya.

Az érintők összehasonlításához szöget is rajzolunk, mint az előző esetben. Tegyük fel, hogy össze kell hasonlítanunk:

Rajzoltál? Most a szinusz értékeit is jelöljük a koordinátatengelyen. Neves? És most jelölje meg a koszinusz értékeit a koordinátavonalon. Megtörtént? Hasonlítsuk össze:

Most elemezze, amit írt. - egy nagy szegmenst egy kicsire osztunk. A válasz egy olyan érték lesz, amely pontosan nagyobb, mint egy. Jobb?

És amikor elosztjuk a kicsiket a nagyokkal. A válasz egy olyan szám lesz, amely pontosan kisebb egynél.

Tehát melyik trigonometrikus kifejezés értéke nagyobb?

Jobb:

Amint most érti, a kotangensek összehasonlítása ugyanaz, csak fordítva: megnézzük, hogyan viszonyulnak egymáshoz a koszinust és a szinust meghatározó szegmensek.

Próbálja saját maga összehasonlítani a következő trigonometrikus kifejezéseket:

Példák.

Válaszok.

SZÁMOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. ÁTLAGOS SZINT.

Melyik a nagyobb számok közül: vagy? A válasz nyilvánvaló. És most: vagy? Már nem olyan nyilvánvaló, igaz? És így: vagy?

Gyakran tudnia kell, hogy a numerikus kifejezések közül melyik a nagyobb. Például egy egyenlőtlenség megoldásakor a pontokat a megfelelő sorrendben helyezze el a tengelyen.

Most megtanítalak összehasonlítani az ilyen számokat.

Ha össze kell hasonlítani a számokat és, akkor közéjük teszünk egy jelet (a latin Versus szóból vagy rövidítve vs. - ellen):. Ez a jel helyettesíti az ismeretlen egyenlőtlenség jelet (). A továbbiakban azonos transzformációkat hajtunk végre, amíg világossá nem válik, hogy melyik jelet kell a számok közé tenni.

A számok összehasonlításának lényege a következő: az előjelet úgy kezeljük, mintha valami egyenlőtlenségjel lenne. A kifejezéssel pedig mindent megtehetünk, amit az egyenlőtlenségekkel szoktunk:

• adjunk hozzá tetszőleges számot mindkét részhez (és természetesen vonjuk ki azt is)
• „mindent egy irányba mozgatni”, vagyis mindkét részből kivonni egyet az összehasonlított kifejezések közül. A kivont kifejezés helyén marad: .
• szorozni vagy osztani ugyanazzal a számmal. Ha ez a szám negatív, az egyenlőtlenség előjele megfordul: .
• Emelje fel mindkét oldalt ugyanarra a teljesítményre. Ha ez a teljesítmény páros, meg kell győződnie arról, hogy mindkét rész azonos előjelű; ha mindkét rész pozitív, akkor az előjel nem változik hatványra emelve, ha pedig negatív, akkor az ellenkezőjére változik.
• mindkét részből azonos fokú gyökeret vegyünk. Ha egy páros fok gyökét vonjuk ki, először meg kell győződnie arról, hogy mindkét kifejezés nem negatív.
• bármely más egyenértékű transzformáció.

Fontos: kívánatos az átalakításokat úgy végezni, hogy az egyenlőtlenség előjele ne változzon! Vagyis az átalakítások során nem kívánatos negatív számmal szorozni, és nem lehet négyzetre tenni, ha valamelyik rész negatív.

Nézzünk néhány tipikus helyzetet.

1. Hatványozás.

Példa.

Melyik a több: vagy?

Megoldás.

Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, négyzetezhetünk, hogy megszabaduljunk a gyöktől:

Példa.

Melyik a több: vagy?

Megoldás.

Itt is négyzetezhetünk, de ez csak segít megszabadulni a négyzetgyöktől. Itt olyan mértékben kell emelni, hogy mindkét gyökér eltűnjön. Ez azt jelenti, hogy ennek a foknak a kitevőjének oszthatónak kell lennie mind (az első gyök fokával), mind -vel. Ez a szám, ezért emeljük a th hatványra:

2. Szorzás a konjugátummal.

Példa.

Melyik a több: vagy?

Megoldás.

Minden különbséget megszorozunk és elosztunk a konjugált összeggel:

Nyilvánvaló, hogy a jobb oldali nevező nagyobb, mint a bal oldali nevező. Ezért a jobb oldali tört kisebb, mint a bal:

3. Kivonás

Emlékezzünk arra.

Példa.

Melyik a több: vagy?

Megoldás.

Természetesen mindent négyzetre emelhetnénk, átcsoportosíthatnánk, és újra négyzetre szabhatnánk. De tehetsz valami okosabbat is:

Látható, hogy a bal oldalon lévő minden egyes tag kisebb, mint a jobb oldalon.

Ennek megfelelően a bal oldalon lévő összes tag összege kisebb, mint a jobb oldalon lévő összes tag összege.

De légy óvatos! Többet is kérdeztünk...

A jobb oldal nagyobb.

Példa.

Hasonlítsa össze a számokat és.

Megoldás.

Emlékezzen a trigonometriai képletekre:

Ellenőrizzük, hogy melyik negyedben vannak a pontok, és feküdjünk a trigonometrikus körön.

4. Osztály.

Itt is használunk egy egyszerű szabályt: .

Vagy, vagyis.

Amikor a jel megváltozik: .

Példa.

Végezzen összehasonlítást: .

Megoldás.

5. Hasonlítsa össze a számokat a harmadik számmal!

Ha és, akkor (tranzitivitás törvénye).

Példa.

Hasonlítsa össze.

Megoldás.

Hasonlítsuk össze a számokat ne egymással, hanem a számmal.

Ez nyilvánvaló.

A másik oldalon, .

Példa.

Melyik a több: vagy?

Megoldás.

Mindkét szám nagyobb, de kisebb. Válasszon olyan számot, amely nagyobb az egyiknél, de kisebb a másiknál. Például, . Ellenőrizzük:

6. Mi a teendő a logaritmusokkal?

Semmi különös. A logaritmusoktól való megszabadulás részletes leírása a témában található. Az alapszabályok a következők:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \balra nyíl (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Hozzáadhatunk egy szabályt a különböző alapú logaritmusokhoz, és ugyanaz az argumentum:

A következőképpen magyarázható: minél nagyobb az alap, annál kevésbé kell megemelni, hogy ugyanazt kapjuk. Ha a bázis kisebb, akkor az ellenkezője igaz, mivel a megfelelő függvény monoton csökkenő.

Példa.

Hasonlítsa össze a számokat: i.

Megoldás.

A fenti szabályok szerint:

És most a fejlett képlet.

A logaritmusok összehasonlításának szabálya rövidebben is felírható:

Példa.

Melyik a több: vagy?

Megoldás.

Példa.

Hasonlítsa össze, hogy melyik szám nagyobb: .

Megoldás.

SZÁMOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. RÖVIDEN A FŐRŐL

1. Hatványozás

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, akkor négyzetre emelhetjük, hogy megszabaduljunk a gyöktől

2. Szorzás a konjugátummal

A konjugátum egy szorzó, amely kiegészíti a kifejezést a négyzetek különbségének képletével: - konjugátum for és fordítva, mert .

3. Kivonás

4. Osztály

A vagy az

Amikor a jel megváltozik:

5. Összehasonlítás a harmadik számmal

Ha és akkor

6. A logaritmusok összehasonlítása

Alapszabályok:

Logaritmusok különböző alapokkal és azonos argumentummal:

A FELÉPÍTETT 2/3 CIKK CSAK A YOUCLEVER DIÁKOK SZÁMÁRA ÉRHETŐ!

Legyél a YouClever tanulója,

Készüljön fel az OGE-re vagy használja a matematikát "egy csésze kávé havonta" áron,

Továbbá korlátlan hozzáférést kap a "YouClever" tankönyvhöz, a "100gia" képzési programhoz (megoldáskönyv), korlátlan próba USE és OGE, 6000 feladat megoldások elemzésével és egyéb YouClever és 100gia szolgáltatásokkal.

A közönséges törtek összehasonlításának szabályai a tört típusától (helyes, nem megfelelő, vegyes tört) és az összehasonlított törtek szignifikáns (azonos vagy eltérő) típusától függenek.

Ez a rész az azonos számlálóval vagy nevezővel rendelkező törtek összehasonlításának lehetőségeit tárgyalja.

Szabály. Két tört összehasonlításához ugyanazok a nevezők, össze kell hasonlítani a számlálóikat. Több (kevesebb) az a tört, amelynek a számlálója nagyobb (kevesebb).

Hasonlítsa össze például a törteket:

Szabály. A megfelelő törtek azonos számlálókkal való összehasonlításához össze kell hasonlítania a nevezőiket. Több (kevesebb) az a tört, amelynek a nevezője kisebb (nagyobb).

Hasonlítsa össze például a törteket:

Helyes, helytelen és vegyes törtek összehasonlítása egymással

Szabály. A nem megfelelő és kevert törtek mindig nagyobbak, mint bármely megfelelő tört.

A megfelelő tört definíció szerint kisebb 1-nél, tehát a nem megfelelő és vegyes törtek (amelyek száma 1-gyel egyenlő vagy nagyobb) nagyobb, mint egy megfelelő tört.

Szabály. Két vegyes tört közül a nagyobb (kisebb) az, amelyikben a tört egész része nagyobb (kisebb). Ha a vegyes törtek egész részei egyenlőek, akkor a nagyobb (kisebb) törtrésszel rendelkező tört nagyobb (kisebb).

Nem csak a prímszámokat lehet összehasonlítani, hanem a törteket is. Hiszen a tört ugyanaz a szám, mint például a természetes számok. Csak ismernie kell a törtek összehasonlításának szabályait.

Azonos nevezőjű törtek összehasonlítása.

Ha két törtnek azonos a nevezője, akkor az ilyen törteket könnyű összehasonlítani.

Az azonos nevezőjű törtek összehasonlításához össze kell hasonlítani a számlálóikat. A nagyobb törtnek nagyobb a számlálója.

Vegyünk egy példát:

Hasonlítsa össze a \(\frac(7)(26)\) és \(\frac(13)(26)\ törteket.

Mindkét tört nevezője azonos, egyenlő 26-tal, ezért összehasonlítjuk a számlálókat. A 13-as szám nagyobb 7-nél.

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Egyenlő számlálós törtek összehasonlítása.

Ha egy törtnek ugyanaz a számlálója, akkor a nagyobb tört az, amelynek a nevezője kisebb.

Megértheti ezt a szabályt, ha példát ad az életből. Van tortánk. 5 vagy 11 vendég jöhet hozzánk. Ha 5 vendég érkezik, akkor a tortát 5 egyenlő részre vágjuk, ha pedig 11 vendég érkezik, akkor 11 egyenlő részre osztjuk. Most gondoljon bele, hogy melyik esetben lesz egy vendégnek nagyobb szelet tortája? Persze ha jön 5 vendég, akkor nagyobb lesz a tortadarab.

Vagy egy másik példa. 20 cukorkánk van. A cukorkákat egyenletesen oszthatjuk szét 4 barátnak, vagy egyenletesen oszthatjuk el 10 barát között. Melyik esetben lesz minden barátnak több cukorka? Természetesen, ha csak 4 baráttal osztunk, akkor minden barátnál több cukorka lesz. Tekintsük ezt a feladatot matematikailag.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Ha ezeket a törteket ig megoldjuk, akkor a \(\frac(20)(4) = 5\) és \(\frac(20)(10) = 2\) számokat kapjuk. Azt kapjuk, hogy 5 > 2

Ez a szabály az azonos számlálójú törtek összehasonlítására.

Nézzünk egy másik példát.

Hasonlítsa össze az azonos számlálóval rendelkező \(\frac(1)(17)\) és \(\frac(1)(15)\) törteket.

Mivel a számlálók azonosak, annál nagyobb az a tört, ahol a nevező kisebb.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Különböző nevezővel és számlálóval rendelkező törtek összehasonlítása.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlításához le kell csökkentenie a törteket, majd össze kell hasonlítania a számlálókat.

Hasonlítsa össze a \(\frac(2)(3)\) és \(\frac(5)(7)\ törteket.

Először keresse meg a törtek közös nevezőjét. Ez egyenlő lesz a 21-gyel.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

Ezután áttérünk a számlálók összehasonlítására. Szabály az azonos nevezőjű törtek összehasonlítására.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Összehasonlítás.

A nem megfelelő tört mindig nagyobb, mint a megfelelő. Mert a nem megfelelő tört nagyobb, mint 1, a megfelelő tört pedig kisebb, mint 1.

Példa:
Hasonlítsa össze a \(\frac(11)(13)\) és \(\frac(8)(7)\ törteket.

A \(\frac(8)(7)\) tört nem helyes, és nagyobb 1-nél.

\(1 < \frac{8}{7}\)

A \(\frac(11)(13)\) tört helyes és kisebb, mint 1. Hasonlítsa össze:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Azt kapjuk, hogy \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Kapcsolódó kérdések:
Hogyan hasonlítja össze a különböző nevezőkkel rendelkező törteket?
Válasz: a törteket közös nevezőre kell hozni, majd össze kell hasonlítani a számlálóikat.

Hogyan hasonlítsuk össze a törteket?
Válasz: először el kell dönteni, hogy a törtek melyik kategóriába tartoznak: van közös nevezőjük, van közös számlálójuk, nincs közös nevezőjük és számlálójuk, vagy van megfelelő és helytelen tört. A törtek osztályozása után alkalmazza a megfelelő összehasonlítási szabályt.

Mi az azonos számlálójú törtek összehasonlítása?
Válasz: Ha a törtek számlálói azonosak, akkor a nagyobb tört a kisebb nevezővel rendelkező tört.

1. példa:
Hasonlítsa össze a \(\frac(11)(12)\) és \(\frac(13)(16)\ törteket.

Megoldás:
Mivel nincsenek azonos számlálók vagy nevezők, az összehasonlítási szabályt különböző nevezőkkel alkalmazzuk. Meg kell találnunk a közös nevezőt. A közös nevező 96 lesz. Hozzuk a törteket közös nevezőre. Szorozzuk meg az első törtet \(\frac(11)(12)\) további 8-as tényezővel, a második törtet \(\frac(13)(16)\) pedig 6-tal.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

A törteket számlálókkal hasonlítjuk össze, az a tört nagyobb, amelyben a számláló nagyobb.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \ \end(igazítás)\)

2. példa:
Hasonlítson össze egy megfelelő törtet egy egységgel?

Megoldás:
Bármely megfelelő tört mindig kisebb 1-nél.

1. feladat:
Apa és fia focizott. A 10 közeledő fia 5-ször találta el a kaput. És apa 5 megközelítésből 3-szor találta el a kaput. Kinek a jobb eredménye?

Megoldás:
A fiú a 10 lehetséges megközelítésből 5-ször talált el. Törtként írjuk a \(\frac(5)(10) \).
Apa az 5 lehetséges megközelítésből háromszor talált el. Törtként írjuk a \(\frac(3)(5) \).

Hasonlítsa össze a törteket. Különböző számlálóink ​​és nevezőink vannak, hozzuk ugyanarra a nevezőre. A közös nevező 10 lesz.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Válasz: Apa eredménye jobb.

Az óra céljai:

1. Oktatóanyagok: megtanulják a törtek összehasonlítását különféle fajták különféle módszerek alkalmazása;
2. Fejlesztés: a mentális tevékenység alapvető módszereinek fejlesztése, az összehasonlítás általánosításai, a fő kiemelése; a memória, a beszéd fejlesztése.
3. Nevelési: megtanulják meghallgatni egymást, elősegítik a kölcsönös segítségnyújtást, a kommunikációs és viselkedési kultúrát.

A lecke lépései:

1. Szervezeti.

Kezdjük a leckét A. France francia író szavaival: "A tanulás szórakoztató lehet... A tudás megemésztéséhez étvággyal kell felszívni."

Kövessük ezt a tanácsot, igyekezzünk figyelmesek lenni, szívjuk magunkba a tudást nagy vággyal, mert. a jövőben hasznosak lesznek számunkra.

2. A tanulók tudásának aktualizálása.

1.) A tanulók frontális szóbeli munkája.

Cél: a lefedett anyag megismétlése, amely új tanuláshoz szükséges:

A) szabályos és helytelen törtek;
B) a törtek új nevezőre hozása;
C) a legkisebb közös nevező megtalálása;

(A fájlok kidolgozása folyamatban van. A tanulók minden órán rendelkezésre állnak. A válaszokat jelölővel írják rájuk, majd a felesleges információkat törlik.)

Feladatok szóbeli munkához.

1. Nevezzen meg egy extra törtet a lánc között:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Hozza a törteket egy új nevezőre 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét:

1/5 és 2/7; 3/4 és 1/6; 2/9 és 1/2.

2.) Játékhelyzet.

Srácok, az ismerős bohócunk (tanév elején találkoztak vele a diákok) megkért, hogy segítsek neki megoldani a problémát. De szerintem nélkülem is tudtok segíteni a barátunknak. És a következő feladat.

"Hasonlítsa össze a törteket:

a) 1/2 és 1/6;
b) 3/5 és 1/3;
c) 5/6 és 1/6;
d) 12/7 és 4/7;
e) 3 1/7 és 3 1/5;
f) 7 5/6 és 3 1/2;
g) 1/10 és 1;
h) 10/3 és 1;
i) 7/7 és 1.”

Srácok, hogy segítsünk a bohócnak, mit tanuljunk?

Az óra célja, feladatok (a tanulók önállóan fogalmaznak).

A tanár kérdéseket tesz fel nekik:

a) a törtpárok közül melyiket tudjuk már összehasonlítani?

b) milyen eszközre van szükségünk a törtek összehasonlításához?

3. Srácok csoportosan (állandó többszintű).

Minden csoport kap feladatot és utasításokat a végrehajtásához.

Első csoport : Hasonlítsa össze a vegyes frakciókat:

a) 1 1/2 és 2 5/6;
b) 3 1/2 és 3 4/5

és származtassanak egy szabályt a vegyes törtek azonos és különböző egész részekkel való egyenlővé tételére.

Utasítás: Vegyes törtek összehasonlítása (számsugár segítségével)

1. hasonlítsa össze a törtek egész részeit, és vonjon le következtetést;
2. törtrészek összehasonlítása (ne jelenítse meg a törtrészek összehasonlításának szabályát);
3. hozz létre egy szabályt - algoritmus:

Második csoport: Hasonlítsa össze a különböző nevezőkkel és különböző számlálókkal rendelkező törteket. (használjon számot)

a) 6/7 és 9/14;
b) 5/11 és 1/22

Utasítás

1. Hasonlítsa össze a nevezőket
2. Gondolja át, hogy lehetséges-e a törteket közös nevezőre redukálni
3. Kezdje a szabályt a következő szavakkal: „A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlításához...”

Harmadik csoport: Törtek összehasonlítása eggyel.

a) 2/3 és 1;
b) 8/7 és 1;
c) 10/10 és 1, és fogalmazz meg egy szabályt!

Utasítás

Vegye figyelembe az összes esetet: (használjon számsugarat)

a) Ha egy tört számlálója egyenlő a nevezővel, ………;
b) Ha egy tört számlálója kisebb, mint a nevező,………;
c) Ha egy tört számlálója nagyobb, mint a nevező,………. .

Fogalmazzon meg egy szabályt.

Negyedik csoport: Hasonlítsa össze a törteket:

a) 5/8 és 3/8;
b) 1/7 és 4/7, és fogalmazzunk meg egy szabályt az azonos nevezőjű törtek összehasonlítására!

Utasítás

Használja a számgerendát.

Hasonlítsa össze a számlálókat, és vonjon le következtetést a következő szavakkal kezdve: „Két azonos nevezőjű törtből……”.

Ötödik csoport: Hasonlítsa össze a törteket:

a) 1/6 és 1/3;
b) 4/9 és 4/3 a számegyenesen:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Fogalmazzon meg egy szabályt az azonos számlálójú törtek összehasonlítására.

Utasítás

Hasonlítsa össze a nevezőket, és vonjon le következtetést a következő szavakkal kezdve:

„Két törtből azonos számlálókkal………..”.

Hatodik csoport: Hasonlítsa össze a törteket:

a) 4/3 és 5/6; b) 7/2 és 1/2 számegyenesen

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Fogalmazzon meg egy szabályt a megfelelő és nem megfelelő törtek összehasonlítására!

Utasítás.

Gondolja át, melyik tört mindig nagyobb, helyes vagy helytelen.

4. A levont következtetések megbeszélése csoportosan.

Szóljon minden csoporthoz. A tanulók szabályainak megfogalmazása és összehasonlítása a megfelelő szabályok standardjaival. Ezután minden tanuló megkapja a különféle típusú közönséges törtek összehasonlítására vonatkozó szabályok kinyomtatását.

5. Visszatérünk az óra elején kitűzött feladathoz. (A bohócproblémát együtt oldjuk meg).

6. Dolgozz füzetekben. A törtek összehasonlításának szabályait alkalmazva a tanulók tanári irányítással hasonlítsák össze a törteket:

a) 8/13 és 8/25;
b) 11/42 és 3/42;
c) 7/5 és 1/5;
d) 18/21 és 7/3;
e) 2 1/2 és 3 1/5;
f) 5 1/2 és 5 4/3;

(lehetőség van diák meghívására a testületbe).

7. A tanulókat felkérjük, hogy végezzenek egy tesztet két lehetőség törteinek összehasonlításával.

1 lehetőség.

1) Hasonlítsa össze a törteket: 1/8 és 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Melyik a nagyobb: 5/13 vagy 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) egyenlők

3) Melyik a kisebb: 2/3 vagy 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) egyenlők

4) Melyik tört kisebb 1-nél: 3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Melyik tört nagyobb 1-nél: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Hasonlítsa össze a törteket: 2 1/5 és 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 > 1 7/9

2. lehetőség.

1) Hasonlítsa össze a törteket: 3/5 és 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Melyik a nagyobb: 10/12 vagy 1/12?

a) egyenlők;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Melyik a kisebb: 3/5 vagy 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) egyenlők

4) Melyik tört kisebb, mint 1: 4/3; 1/15; 16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Melyik tört nagyobb, mint 1: 2/5; 9/8; 11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) Hasonlítsa össze a törteket: 3 1/4 és 3 2/3

a) 3 1/4 = 3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Válaszok a tesztre:

1. lehetőség: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

2. lehetőség: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Még egyszer visszatérünk az óra céljához.

Ellenőrizzük az összehasonlítási szabályokat, és differenciált házi feladatot adunk:

1,2,3 csoport – minden szabályhoz találjon ki két példát, és oldja meg őket.

4,5,6 csoport - 83. a, b, c, 84. a, b, c (a tankönyvből).

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan hasonlítsuk össze a törteket egymással. Ez egy nagyon hasznos készség, amely bonyolultabb problémák egész osztályának megoldásához szükséges.

Először is hadd emlékeztesselek a törtek egyenlőségének meghatározására:

Az a /b és c /d törteket egyenlőnek nevezzük, ha ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, mert 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, mert 3 18 = 2 27 = 54.

Minden más esetben a törtek egyenlőtlenek, és az alábbi állítások egyike igaz rájuk:

1. Az a /b tört nagyobb, mint a c /d frakció;
2. Az a /b tört kisebb, mint a c /d tört.

Az a /b törtet nagyobbnak nevezzük, mint a c /d tört, ha a /b − c /d > 0.

Egy x /y törtet kisebbnek nevezünk, mint egy s /t törtet, ha x /y − s /t< 0.

Kijelölés:

Így a törtek összehasonlítása a kivonásukra redukálódik. Kérdés: hogyan ne keveredjen össze a "nagyobb, mint" (>) és a "kisebb, mint" jelöléssel (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. A csekk bővülő része mindig a nagyobb szám felé irányul;
2. A pofa éles orra mindig alacsonyabb számot jelez.

Azokban a feladatokban, ahol számokat szeretne összehasonlítani, gyakran a „∨” jelet teszik közéjük. Ez egy lefelé tartó orrú dög, ami mintegy sejteti: a számok közül a nagyobbat még nem határozták meg.

Feladat. Hasonlítsa össze a számokat:

A definíciót követve a törteket kivonjuk egymástól:

Minden összehasonlításnál a törteket közös nevezőre kellett hoznunk. Különösen a keresztezési módszer alkalmazása és a legkisebb közös többszörös megtalálása. Szándékosan nem összpontosítottam ezekre a pontokra, de ha valami nem tiszta, vessen egy pillantást a "Törtek összeadása és kivonása" című leckére - ez nagyon egyszerű.

Tizedes összehasonlítás

A tizedes törtek esetében minden sokkal egyszerűbb. Itt nem kell semmit kivonni - csak hasonlítsa össze a számjegyeket. Nem lesz felesleges emlékezni arra, hogy mi a szám jelentős része. Azok számára, akik elfelejtették, javaslom, hogy ismételjék meg a "Tizedes törtek szorzása és osztása" című leckét - ez is csak néhány percet vesz igénybe.

A pozitív tizedes X nagyobb, mint a pozitív tizedes Y, ha olyan tizedesjegyet tartalmaz, hogy:

1. Az X törtben szereplő számjegy nagyobb, mint az Y tört megfelelő számjegye;
2. Minden, az X és Y törtben megadottnál régebbi számjegy megegyezik.

1. 12,25 > 12,16. Az első két számjegy azonos (12 = 12), a harmadik pedig nagyobb (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Más szóval, egymás után nézzük a tizedesjegyeket, és keressük a különbséget. Ebben az esetben nagyobb szám nagyobb törtnek felel meg.

Ez a meghatározás azonban pontosítást igényel. Például hogyan írjunk és hasonlítsunk össze számjegyeket tizedesvesszőig? Ne feledje: bármely decimális formában írt számhoz tetszőleges számú nullát rendelhetünk a bal oldalon. Íme még néhány példa:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300,5 > 0,0025, mert 0,0025 = 0000,0025 - három nulla hozzáadva a bal oldalon. Most láthatja, hogy a különbség az első bitben kezdődik: 2 > 0.

Természetesen a megadott nullákkal jelzett példákban volt egy explicit felsorolás, de a jelentése pontosan ez: töltse ki a hiányzó számjegyeket a bal oldalon, majd hasonlítsa össze.

Feladat. Hasonlítsa össze a törteket:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

1. 0,029 > 0,007. Az első két számjegy megegyezik (00 = 00), ezután kezdődik a különbség (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Itt gondosan meg kell számolnia a nullákat. Az első 5 számjegy mindkét törtben nulla, de tovább az első törtben 3, a másodikban pedig 0. Nyilvánvalóan 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Írjuk át a második törtet 0000.99501-re, és adjunk hozzá 3 nullát balra. Most már minden nyilvánvaló: 1 > 0 - a különbség az első számjegyben található.

Sajnos a fenti tizedestörtek összehasonlítási séma nem univerzális. Ez a módszer csak összehasonlítható pozitív számok. Általános esetben a munka algoritmusa a következő:

1. A pozitív tört mindig nagyobb, mint a negatív;
2. Két pozitív törtet hasonlítunk össze a fenti algoritmus szerint;
3. Két negatív törtet ugyanúgy összehasonlítunk, de a végén az egyenlőtlenség előjelét megfordítják.

Hát nem gyenge? Most nézzünk konkrét példákat - és minden világossá válik.

Feladat. Hasonlítsa össze a törteket:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0,192 > -0,39. A törtek negatívak, a 2 számjegy különbözik. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > -11,3. Egy pozitív szám mindig nagyobb, mint egy negatív;
4. 19,032 > 0,091. Elegendő a második törtet átírni 00.091 alakra, hogy lássuk, a különbség már 1 számjegyben jelentkezik;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. A különbség az első kategóriában van.